postheadericon Через точку Р окружности проведены диаметр и две хорды

Через точку Р окружностиЗадача. Через точку P окружности проведены диаметр PQ и две хорды
PR и PА, равные радиусу этой окружности.
Найдите углы четырёхугольника PRQА и градусные меры дуг PR,RQ,QА,АР.

Решение: Чертим окружность, проводим  PQ — диаметр, а также хорды в обе стороны
от точки Р — PR и PА.

В четырёхугольнике PRQА углы R и А равны 90º,
как вписанные углы, которые опираются на диаметр.

Центр окружности точку О соединяем со всеми вершинами
и рассматриваем треугольник OPR.
В нем все стороны равны радиусу окружности — OP и OR — радиусы, PR — хорда, по условию равная радиусу,  т.е. это равносторонний треугольник.
А в равностороннем треугольнике все углы равны 60º.
Значит, центральный угол POR тоже равен 60º.
А из этого выходит, что дуга PR, на которую он опирается,
имеет градусную меру  60º.

Таким же образом можно рассмотреть треугольник AOP и увидеть,
что дуга АР тоже имеет градусную меру 60º.

Из равенства углов в равностороннем треугольнике мы приходим к выводу, что угол APR равен сумме двух углов — APO и RPO,
т.е. составляет 120º.

Отсюда, угол Q четырёхугольника равен 180-120 = 60º, согласно теоремы, которая гласит, что сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника, равна 180º.

Осталось выяснить градусную меру дуг PQ и QA. Их можно вычислить, рассматривая треугольники AOQ и ROQ.
Эти треугольники равнобедренные, т.к. AO=QO=RO=радиусу окружности.

Углы же АOQ и ROQ равны по 120º, как смежные с углами AOP и ROP, которые равны по 60º.

Отсюда видно, что дуги AQ и RQ имеют градусные меры размером в 120º.

Ответ: Углы четырёхугольника R,Q,A,P равны  90º, 60º, 90º, 120º.
Градусные меры дуг: 60º, 120º, 120º, 60º.

Оставить комментарий

ПОДПИСЫВАЙСЯ!
Никакого спама, гарантируем!
Сайт размещается на хостинге Спринтхост