Геометрия — просто!

Добрый день, дорогие друзья! Сегодня мы с вами поговорим про задачи на доказательства по геометрии 7 класса.
В геометрии, в отличии от алгебры,  есть очень много задач на доказательство тех или иных тем.
В таких задачах, как правило, очень мало вычислительного материала, зато очень много логических рассуждений, связанных между собой цепочкой доказательств.
Здесь важно выделить конец доказательства, а затем, идя к началу, раскручивать его.
Как это происходит,  мы сегодня разберём.

Задача 1. Докажите, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
Доказательство. Предположим, что мы доказали равенство медиан.
Смотрим, в каких фигурах эти медианы находятся, и что можно сказать об этих фигурах.
Итак, медианы АМ и СК находятся в треугольниках АМС и АКС или в треугольниках АВМ и СВК. Для доказательства равенства медиан надо доказать равенство треугольников.
Выбираем первую пару.  Треугольники АМС и СКА. Поскольку треугольник АВС равнобедренный, то АВ=ВС.
Но медиана делит противоположную сторону треугольника пополам. Отсюда АК=КВ=СМ=ВМ. Или АК=СМ.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Получается ∠А=∠С.  Теперь вернёмся опять к треугольникам АМС и СКА. У них АК=СМ.
Угол МСА равен углу КАС, а сторона АС — общая.
Получается, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.
А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
Против угла  МСА в треугольнике АМС лежит сторона АМ, а против угла КАС в треугольнике СКА лежит сторона КС. Значит, эти стороны равны.
Медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Задача 2. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на 2 равных треугольника.
Доказательство. И опять, как в задаче 1. Предположим, что треугольники  АВД и ВСД равны.
Диагональ параллелограмма принадлежит обоим треугольникам. Т.е. у них одна сторона общая.
Осталось найти либо 2 пары равных углов, либо  равные стороны и два равных угла, либо по две равных стороны.
У параллелограмма, как мы знаем, противоположные стороны равны.
Имеем АД=ВС, АВ=СД.  Получается, что треугольники равны по трем сторонам.
Можно доказать по другому, согласно 2 признаку равенства треугольников.
В треугольниках АВД и ВСД углы
СВД и ВДА равны, как накрест лежащие
при параллельных прямых   ВС и АД и секущей ВД.
Углы ВДС и АВД равны, как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СД и секущей ВД.
Получается, что треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Задача 3. Докажите, что отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны.
Доказательство. Нам дано, что из точки С проведены 2 касательных АС и ВС  к окружности.
Для того, чтобы провести доказательство равенства сторон, сделаем дополнительные построения.
Проведём радиусы ОА и ОВ, а также прямую ОС. Доказав равенство треугольников ОАС и ОВС, мы сможем доказать равенство сторон АС и ВС.
Мы знаем, что радиусы, проведённые в точку касания перпендикулярны касательной. Поэтому, углы ОАС и ОВС — прямые.
Отсюда, треугольники САО и СВО — прямоугольные.
Эти треугольники равны, т.к. катеты ОА и ОВ равны, а гипотенуза ОС у них общая. Прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе.
А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны ОА лежит угол АСО, а против стороны ОВ — угол ВСО.
Эти углы равны. А если 2 угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы у них равны.
Значит, углы ВОС и АОС равны.
А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
Против угла АОС лежит сторона АС, а против угла ВОС — сторона ВС.
Углы равны, значит и стороны АС и ВС равны.

На сегодня, пожалуй, достаточно. Ведь скоро Новый Год, все мысли о нём,
так что геометрию ненадолго отложим в сторону.
Спасибо всем и с НОВЫМ ГОДОМ!