postheadericon Как решать задачи на движение

Задачи на движениеДобрый день, друзья!
Продолжаем подготовку к сдаче ЕГЭ-2017.
И сегодня у нас на очереди достаточно простые задачи,
которые, тем не менее, вызывают определённые трудности у выпускников. Сегодня мы разберём, как решать задачи на движение.

По этим задачам было достаточно много записей,
однако они, как мир, бесконечны.
Задача 1. Из точки А в точку В одновременно выехали два автомобиля.
Первый ехал   весь путь с постоянной скоростью.
Второй проехал первую половину пути со скоростью,
меньшей скорости первого на 14 км/час,
а вторую половину пути со скоростью 105 км/час,
и поэтому прибыл в В одновременно с первым автомобилем.
Найти скорость первого автомобиля,
если известно, что она больше 50 км/час.
Решение: Примем всё расстояние за 1.
Скорость первого автомобиля примем за х.
Тогда, время, за которое первый автомобиль проехал всё расстояние,
равно 1/х.
У второго  автомобиля скорость первую половину пути, т. е. 1/2,
была на 14 км/час меньше скорости первого автомобиля,  х-14.
Время, которое второй автомобиль затратил, равно 1/2 : (х-14) = 1/2(х-14).
Вторую половину пути, т.е.  1/2, автомобиль прошёл
со скоростью 105 км/час.
Время, которое он затратил, равно 1/2 : 105 =1/2*105 = 1/210.
Время первого и второго равны между собой.
Составляем уравнение:
1/х = 1/2(х-14) + 1/210
Находим общий знаменатель — 210х(х-14)
210(х-14) = 105х + х(х-14)
210х — 2940 = 105х + х² — 14х
х² — 119х + 2940 = 0
Решая данное квадратное уравнение через дискриминант, находим корни:
х1 = 84
х2 = 35.  Второй корень не подходит по условию задачи.
Ответ: скорость первого автомобиля равна 84 км/час.
Задача 2. Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста.
Скорость первого равна 92 км/час, а скорость второго — 77 км/час.
Через сколько минут первый автомобилист
будет опережать второго на 1 круг?
Решение:
 Эту задачу, несмотря на то, что она даётся в 11 классе,
можно решить на уровне начальной школы.
Зададим всего четыре вопроса и получим четыре ответа.
1. Сколько километров пройдёт первый автомобилист за 1 час?
92 км.
2. Сколько километров пройдёт второй автомобилист за 1 час?
77 км.
3. На сколько километров будет опережать первый автомобилист второго  спустя 1 час?
92 — 77 = 15 км.
4. Сколько часов понадобится, чтобы первый автомобилист опережал второго на 30 км?
30:15 = 2 часа = 120 минут.
Ответ: через 120 минут.
Задача 3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км,
одновременно выехали автомобилист и велосипедист.
Известно, что в час автомобилист проезжает
на 90 км больше, чем велосипедист.
Определить скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5 часов 24 минуты позже автомобилиста.
Решение:   Чтобы правильно решать любую поставленную перед нами задачу,
необходимо придерживаться определённого плана.
И самое главное, что надо понимать, что мы хотим из этого.
Т.е., к какому уравнению мы хотим прийти при тех условиях, которые даны.
Мы будем сравнивать между собой время каждого.
Автомобиль проезжает на 90 км в час больше, чем велосипедист.
Это значит, скорость автомобиля больше скорости
велосипедиста на 90 км/час.
Принимая скорость велосипедиста за х км/час,
получим скорость авто х + 90 км/час.
Время в пути велосипедиста  60/х.
Время в пути авто — 60/(х+90).
5 часов 24 минуты это 5  24/60 часа = 5  2/5 = 27/5 часа
Составляем уравнение:
60/х = 60/(х+90) + 27/5   Сокращаем числитель каждой дроби на 3
20/х = 20/(х+90) + 9/5   Общий знаменатель  5х(х+90)
20*5(х+90) = 20*5х + 9х(х+90)
100х + 9000 = 100х + 9х² + 810х
9х² + 810х — 9000 = 0
х² + 90х — 1000 = 0
Решая это уравнений через дискриминант или теорему Виета, получим:
х1 = — 100  Не подходит по смыслу задачи.
х2 = 10
Ответ: скорость велосипедиста 10 км/час.
Задача 4. Велосипедист проехал 40 км из города в деревню.
На обратном пути он поехал с той же скоростью,
но через 2 часа езды сделал остановку на 20 минут.
После остановки он увеличил скорость на 4 км/час
и поэтому потратил на обратный путь из деревни в город столько же времени, сколько на путь из города в деревню.
Найти первоначальную скорость велосипедиста.
Решение: эту задачу решаем относительно затраченного времени
сначала  в деревню, а затем обратно.
Из города в деревню велосипедист ехал с одной скоростью х км/час.
При этом он затратил 40/х часов.
Обратно за 2 часа он проехал км.
Ему осталось проехать 40 — 2х км, которые он прошёл
со скоростью х + 4 км/час.
При этом время, которое он затратил на путь обратно
складывается из трёх слагаемых.
2 часа; 20 минут = 1/3 часа; (40 — 2х)/(х + 4) часа. 
Составляем уравнение:
40/х = 2 + 1/3 + (40 — 2х)/(х + 4)
40/х =  7/3 + (40 — 2х)/(х + 4)   Общий знаменатель    3х(х + 4)
40*3(х + 4)  = 7х(х + 4) + 3х(40 — 2х)
120х + 480 = 7х² + 28х + 120х — 6х²
х² + 28х — 480 = 0 Решая это уравнений через дискриминант или теорему Виета, получим:
х1 = 12
х2 = — 40  Не подходит по условию задачи.
Ответ: первоначальная скорость велосипедиста 12 км/час.
Задача 5. Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в одном и том же направлении.
Скорость первого 50 км/час, второго — 40 км/час.
Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль,
который обогнал первый автомобиль на 1,5 часа позже,
чем второй автомобиль.
Найти скорость третьего
автомобиля.
Решение: За полчаса первый автомобиль проедет 25 км, а второй 20 км.
Т.е. первоначальное расстояние между первым и третьим автомобилем равно 25 км,
а между вторым и третьим — 20 км.
В случае, когда один автомобиль догоняет другой, их скорости вычитаются.
Если принять скорость третьего автомобиля за х км/час,
тогда получится, что второй автомобиль он догнал через 20/(х-40) часа.
Тогда первый автомобиль он догонит через 25/(х — 50) часа.
Составляем уравнение:
25/(х — 50) = 20/(х — 40) + 3/2    Общий знаменатель  2(х — 50)(х — 40)
25*2(х — 40) = 20*2(х — 50) + 3(х — 50)(х — 40)
50х — 2000 = 40х — 2000 + 3х² — 270х + 6000
3х² — 280х + 6000 = 0   Решая данное уравнение через дискриминант, получим
х1 = 60
х2 = 100/3
Ответ: скорость третьего автомобиля 60 км/час.
На сегодня все.
И помните: чтобы стать мастером в любом деле,
надо потратить на него не менее 10000 часов.
Успехов и до новых задач!

Оставить комментарий

Занятия по геометрии
С 8 по 14 июля провожу занятия в Школе Шаталова В.Ф. для 8-9 классов по геометрии http://shatalovschools.ru
Никакого спама, гарантируем!
Сайт размещается на хостинге Спринтхост