Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
На пороге октябрь, а это значит,
что ЕГЭ приближается.
И чтобы встретить его во всеоружии,
необходимо на 100% решать
двенадцать первых заданий.
Сегодня перед нами задание 9 —
найдите значение выражения —
как его решать?

Задача 1. Найдите значение выражения   7·5^log₅²       
Решение: выражение вида  a^log_a^b   = b    является основным  логарифмическим тождеством.
Читается таким образом: а в степени логарифм b по основанию а равно b.
Поэтому, выражение 5^log₅²    равно 2.
Произведение 7 и 2 даёт 14.
Ответ: 14.

Задача 2.     -20 tg52º•tg142º.
Решение: tg142º = tg (90º + 52º)
Выражение справа является формулой приведения.
Её решают в 2 этапа:
1. Определяем знак выражения по четверти,
в которой находится искомый угол.
В нашем случае угол равен 142º — это вторая четверть.
Знак тангенса во второй четверти — минус.
2. Если острый угол прибавляется или отнимается от угла,
равного 90º или 270º, то функция меняется на противоположную,
т.е. в нашем случае — тангенс меняется на котангенс.
Имеем    -20 tg52º•tg142º = -20 tg52º•ctg52º•(-1) = 20 tg52º•ctg52º= 20.
Произведение тангенса угла на котангенс этого же угла дает нам 1.
Ответ: 20.

Задача 3.   Найдите значение выражения     log₆144 – log₆4
Решение:  разность логарифмов равна логарифму частного,
т.е. в нашем случае
log₆144 – log₆4 = log₆ (144/4) =  log₆36.
Решая данный логарифм, получим ответ, равный 2.
Ответ: 2.

Задача 4. Найдите значение выражения  9^4/9 · 81^5/18
Решение: Представим 81 как 9 во второй степени.
Тогда выражение 81^5/18  можно представить в виде (9²)^5/18.
При возведении степени в степень, как известно,
показатели степеней перемножаются.
(9²)^5/18 = 9^5/9
Теперь наше первоначальное выражение примет вид:     9^4/9 ·  9^5/9
Перемножаем две степени с одинаковыми основаниями,
значит, показатели степеней складываются.
9^4/9 ·  9^5/9 = 9^9/9 = 9¹ = 9.
Ответ: 9.

Задача 5. Найти значение выражения  √(51² — 24²).
Решение: конечно, можно возвести 51 в квадрат, затем 24 в квадрат,
потом произвести вычитание и извлечение корня из разности.
А можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, в данном случае — формулой разности квадратов двух чисел.
Она раскладывается на произведение  двух множителей —
разности чисел и их суммы.
√(51² — 24²) = √(51 — 24)•(51+24) = √27•75.
Многие после этого начинают перемножать два множителя,
а затем извлекать корень из четырёхзначного числа.
Мы воспользуемся другим методом и разложим 27 и 75 на множители,
а затем воспользуемся правилом,
что корень произведения равен произведению корней.
√27•75 = √9•3•3•25 = √9•3²•5² = 3•3•5 = 45.
Ответ: 45.

На сегодня всё.
Успехов и до новых задач!