Геометрия — просто!

Добрый день, друзья! Продолжаем подготовку к экзаменам  и сегодня решаем 21 задание ОГЭ по математике.
Задание довольно разнообразное и включает в себя неравенства, рациональные и иррациональные уравнения, системы уравнений, алгебраические выражения.
Т.е. всё то, что, по мнению составителей экзаменационных вариантов, должны знать выпускники 9 класса, которые собираются продолжать свою учёбу в 10 и 11 классах. Итак, приступим:

Задание 1. Решить неравенство -14/[(x-5)² – 2]  >= 0

Решение: Прежде, чем начинать решение данного неравенства,
мы должны понять, какого оно вида.
Это дробно-рациональное неравенство,
в знаменателе которого находится неизвестное Х.
Значит, знаменатель данной  дроби не должен быть равным нулю.
В числителе же находится  целое число.
Приступим к решению:
а. избавимся от знака минус в левой части неравенства – умножим правую и левую часть неравенства на ( -1 ).
При этом поменяется знак неравенства и оно примет следующий вид
- 14/[(x-5)² – 2]  <= 0
б. в числителе стоит положительное число, значит, мы решаем только знаменатель,  с учётом того, что знаменатель не должен быть равным нулю, знак нестрогого неравенства меняется на знак строгого неравенства.
в. (x-5)² – 2  < 0  Раскрываем скобки и решаем квадрат разности двух чисел:
х² — 10х + 25 – 2 < 0
х² — 10х + 23 < 0  Находим корни через Дискриминант
с чётным вторым коэффициентом:
х_1,2 = 5 ±√(5² — 23) = 5 ±√(25 — 23) = 5 ±√2
х₁ = 5 +√2      х₂ = 5 — √2
Ответ:       5 -√2  < х <  5 + √2

Задание 2. Решить неравенство (х – 11)² < √5*(х – 11)
Решение: Здесь можно увидеть в правой и левой части неравенства одно и тоже выражение –  (х – 11).
НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕЛЬЗЯ ЭТО ВЫРАЖЕНИЕ СОКРАЩАТЬ!!!
Иначе мы потеряем корень неравенства.
Переносим  всё в левую часть неравенства и выносим общий множитель (х – 11):
(х – 11) * (х – 11 — √5) < 0
Находим корни, при которых выражения, стоящие в скобках, станут равными нулю.
х – 11 = 0    х₁ = 11
х – 11 — √5 = 0  х₂ = 11 + √5
Выражение меньше нуля, методом интервалов находим решение – между корнями.
Ответ:    11 <  х  < 11 + √5

Задание 3. Решить уравнение 1/х² + 2/х  — 3 = 0
Решение: данное уравнение дробно-рациональное и нам необходимо обозначить О.Д.З. (область допустимых значений, которые может принимать х).
В данном случае видно, что х не должен быть равен нулю.
Дроби с разными знаменателями,  находим общий:  х².
Домножаем  и получаем: 1 + 2х – 3х² = 0
Или, умножив правую и левую часть уравнения на (-1) 3х² – 2х – 1 = 0
Сумма коэффициентов  а, в и с квадратного уравнения равна нулю.
А это значит, что первый корень ВСЕГДА равен 1.
Итак, х₁ = 1.
Второй корень находим из условия теоремы Виета: произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену.
В нашем случае — 1/3. Значит, х₂ = — 1/3.
Ответ:  -1/3; 1.

Задание 4. Решить систему уравнений
3х² + у = 9
7х² — у = 1 
Решение: данная система решается методом алгебраического сложения,
а именно – сложим левые и правые части первого и второго уравнений.
3х² + у  + 7х² — у = 9 + 1
10х² = 10
х² = 1
х₁ = 1              у₁ = 6
х₂ = — 1           у₂ = 6
Ответ: (-1; 6); (1,6)

На сегодня всё.
 Успехов и до новых заданий!