postheadericon Отрезки в треугольнике

Отрезки в треугольникеДобрый день, друзья!
Сегодня мы будем решать задачи, связанные с отрезками в треугольнике.
Отрезки в треугольнике — это
части сторон треугольника,  а также высоты, медианы и биссектрисы треугольника.

Все они связаны между собой через линейные или угловые величины.
Знание этих связей поможет вам в решении заданий 24-26.
А пока решаем задание № 9.
Задача 1. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота.
АС=53, ВС=ВМ. Найти АН.

Решение: Поскольку по условию задачи ВС=ВМ,
то треугольник ВМС — равнобедренный.
А высота, опущенная из вершины равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой и медианой.
Получается, что ВН — медиана треугольника ВМС
и она делит сторону МС пополам.

Но ВМ в треугольнике АВС — медиана, которая делит сторону АС пополам. Отсюда АМ=МС=53/2 = 26,5.
МС точкой Н тоже делится пополам.
Значит, МН = 1/2  МС =  26,5/2 = 13,25.

АН складывается из двух отрезков АМ и МН.
Имеем АН = 26,5 + 13, 25 = 39,75.
Ответ: Длина АН равна 39,75.
Задача 2. В треугольнике АВС АВ=ВС=АС=78√3. Найти высоту СН.
Решение: поскольку все стороны треугольника равны,
то этот треугольник равносторонний. 
В равностороннем треугольнике, также как и в равнобедренном,
высота является одновременно медианой.
Значит, она делит сторону противоположную пополам.
Т.е. АН=ВН=78√3/2 = 39√3.

Из прямоугольного треугольника АСН АС=78√3, АН = 39√3.
По теореме Пифагора находим СН.
СН² = (78√3)² — (39√3)² = 78²•3 — 39²•3 = 3(78² — 39²) =
3(78+39)(78-39) = 3•117•39 = 3•3•39•39

СН = √(3•3•39•39) = 3•39 = 117
Ответ: высота СН равна 117.
Задача 3. В равностороннем треугольнике АВС высота СН равна 39√3. Найти сторону треугольника.
Решение: для решения данной и других подобных задач мы не станем применять формулы для равностороннего треугольника.
Напротив, применяя теорему Пифагора, теорему о медиане равнобедренного треугольника, мы сможет решить эту задачу.
И это, я думаю, будет более запоминающимся.

Итак — высота равностороннего треугольника
является также его медианой
.
Т.е. она делит противоположную сторону пополам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН.
Гипотенузу его примем за х, катет АН = х/2. Катет СН=39√3.

Теорема Пифагора в чистом виде:
х² — (х/2)² = (39√3)²
х² — х²/4 = 3•39²
3х²/4 =  3•39²
х²/4 =  39²
х² =  4•39²
х = 2•39 = 78.
Ответ: сторона треугольника равна 78.
Задача 4.  В треугольнике АВС АС=ВС, угол С=120º. АС=25√3. Найти АВ.
Решение: опять же для решения этой задачи применим только
теорему Пифагора,  а также свойство катета, лежащего против угла в 30º.

Поскольку АС=ВС, треугольник АВС — равнобедренный.
Угол при вершине С равен 120º.

Проведём высоту СН, которая в равнобедренном треугольнике одновременно является биссектрисой и медианой.
Угол АСН равен 60º, угол СНА равен 90º. Отсюда, угол САН равен 90-60 = 30º.
Катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы.
Значит, СН = 25√3/2.
По теореме Пифагора находим АН.
АН² = (25√3)² — (25√3/2)² = 25²•3 — 25²•3/4 = 25²•3•3/4
АН = 25•3/2
АВ = 2АН = 2•25•3/2 = 75.
Ответ: сторона АВ равна 75.
Задача 5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 5,
а один катет на 1 больше другого.  Найти площадь треугольника.

Решение: Примем один катет за х, тогда второй будет х+1
И опять теорема Пифагора:
х² + (х+1)² = 5²

х² + х² + 2х+1 = 25
2х² + 2х — 24 = 0
х² + х — 12 = 0   Решаем по теореме Виета
х1 + х2 = -1
х1 • х2 = -12
х1 = -4
х2 = 3
Первый катет равен 3, второй на 1 больше равен 4.
Получился египетский треугольник.

Площадь равна  S = 1/2 • 3 • 4 = 6.
Ответ: площадь треугольника равна 6.
На сегодня всё.
Успехов и до новых задач!

Оставить комментарий

Занятия по геометрии
С 8 по 14 июля провожу занятия в Школе Шаталова В.Ф. для 8-9 классов по геометрии http://shatalovschools.ru
Никакого спама, гарантируем!
Сайт размещается на хостинге Спринтхост