postheadericon Трапеция решение задач по геометрии.

Трапеция1           Добрый день, дорогие друзья! Сегодня у нас тема — трапеция решение задач по геометрии. Прежде чем начинать разбирать задачи, давайте вспомним, что такое трапеция, и какие у неё есть элементы.
      Трапеция — выпуклый четырёхугольник, у которого  две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
      Параллельные стороны называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.
Трапеции бывают прямоугольные, равнобедренные и простые.
В прямоугольных трапециях есть 2 прямых угла.
В равнобедренных трапециях, как в равнобедренных треугольниках, углы при основаниях равны, равны так же и боковые стороны.
В трапеции имеется средняя линия, которая соединяет середины боковых сторон.
А теперь задачи.
Задача 1Задача 1.  Острый угол равнобедренной трапеции равен 60°. Доказать, что основание ВС = AD — AB.
Доказательство. Опустим из вершин трапеции высоты BM  и CN на нижнее основание AD.
Получим два прямоугольных треугольника ABM и DCN, а также прямоугольник BCNM.
Поскольку в прямоугольных треугольниках один угол равен 60°, то второй, согласно следствию из теоремы о сумме внутренних углов треугольника, равен 30°.
А мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Т.е. АМ= с/2.
То же самое и в правом треугольнике — ND = с/2.
Получается, что нижнее основание можно представить в виде суммы трёх отрезков, а именно AM, MN, ND, где AM=ND=c/2.
MN=BC, или верхнему основанию.
Отсюда можно написать MN=BC=AD — AM — ND = AD — c/2 — c/2 = AD — AB.

Мы доказали, что верхнее основание равно разности нижнего основания и боковой стороны.
Задача 2Задача 2. Основания трапеции равны  AD  и  BC. Найти длину отрезка KP, который соединяет середины диагоналей трапеции.
Решение: На основании теоремы Фалеса отрезок KP принадлежит большему отрезку MN, который является средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции, как мы знаем, равна полу-сумме  оснований трапеции, или (AD+BC)/2.
В то же время, рассматривая треугольник ACD и его среднюю линию KN, можно понять, что KN=AD/2.
Рассматривая другой треугольник BCD и его среднюю линию PN, можно увидеть, что PN=BC/2.
Отсюда, KP=KN-PN = AD/2 — BC/2 = (AD-BC)/2.

Мы доказали, что отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, равен полу-разности оснований данной трапеции.
Равнобедренная трапецияЗадача 3. Найти меньшее основание ВС равнобедренной трапеции, если высота СK, проведённая из конца C меньшего основания, делит большее основание на отрезки AK и KD, разность которых равна 8 см.
Решение: Сделаем дополнительное построение. Проведём высоту ВМ.
Рассмотрим треугольники ABM и DCK. Они равны по гипотенузе и катету — AB=CD, как боковые стороны равнобедренной трапеции.
Высоты трапеции BM и CK тоже равны, как перпендикуляры, расположенные между двумя параллельными прямыми.
Следовательно, AM=KD. Получается, что разность между AK и KD равна разности между AK и AM.
А это есть отрезок MK. Но MK равен ВС, поскольку BCKM — прямоугольник.
Отсюда меньшее основание трапеции равно 8 см.
Трапеция и средняя линияЗадача 4. Найти отношение оснований трапеции, если её средняя линия делится диагоналями на 3 равные части.
Решение: Поскольку MN — средняя линия трапеции, то она параллельна основаниям и делит боковые стороны пополам.
По теореме Фалеса MN  делит также и стороны AC и BD пополам.

Рассматривая треугольник АВС можно видеть, что MO в нём — средняя линия. А средняя линия треугольника параллельна  основанию и равна его половине. Т.е. если MO=Х, то ВС=2Х.
Из треугольника ACD имеем ON — средняя линия.
Она тоже параллельна основанию и равна его половине.
Но, поскольку OP+PN= Х+Х=2Х, тогда AD=4Х.

Получается, что верхнее основание трапеции равно 2Х, а нижнее — 4Х.
Ответ: отношение оснований трапеции равно 1:2.
На сегодня всё. В следующий раз мы продолжим решение задач по геометрии и алгебре с 7 по 9 класс.

Оставить комментарий

Никакого спама, гарантируем!
Сайт размещается на хостинге Спринтхост