Геометрия — просто!

Здравствуйте, друзья!
Сегодня мы открываем новую рубрику — поступающим в ВУЗы.
Молодые люди, поступающие в ВУЗы, особенно в технические,
должны владеть математической дисциплиной на очень хорошем уровне.
А чтобы им в этом помочь, мы будем решать различные задачи и примеры по алгебре и геометрии.
И начнём с решения задач на арифметическую прогрессию.

Задача 1. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры этого числа переставить, то получится число, составляющее 5/6 первоначального. Найти это число.
Решение. Любое двузначное число можно представить в виде 10х + у,
где х — число десятков,
у — число единиц.
При перестановке цифр получится другое число, а именно 10у + х.
Составляем первое уравнение:  (10х+у)*5/6 = 10у+х.
Второе уравнение — это сумма цифр х и у.  х+у = 9
Решаем совместно:
(10х+у)*5/6 = 10у+х
х+у = 9         ⇒       у = 9 — х  Подставляем в первое уравнение:
(10х + 9 — х)*5/6 = 10(9-х) + х
(9х+9)*5/6 = 90-10х+х
3(15х+15)/6 = 90-9х
(15х+15)/2 = 90-9х
15х+15 = 180-18
33х = 165х
х=5   у=9-5 = 4
Ответ: искомое число равно 54.

Задача 2. Найти двузначное число по следующим условиям:
частное от деления искомого числа на сумму его цифр равно 8,
частное от деления произведения цифр на сумму цифр равно 14/9.
Решение: Число равно 10х+у
Сумма цифр равна х+у
Произведение цифр равно ху.
Составляем уравнения:
(10х+у)/(х+у) = 8
ху/(х+у) = 14/9  Домножаем на (х+у) правую и левую части обоих уравнений
10х+у = 8(х+у)            10х+у = 8х+8у       2х=7у      х = 3,5у
9ху = 14(х+у)                9ху = 14х+14у  Используем метод подстановки
9*3,5у² = 49у+14у
31,5у² — 63у = 0
31,5у(у-2) = 0       Произведение двух множителей равно нулю,
когда один из множителей равен нулю.
у1 = 0 Не подходит по смыслу задачи.
у-2 = 0    у2 = 2     х= 3,5*2 = 7.
Ответ: число равно 72.

Задача 3. Найти четыре первых члена возрастающей арифметической прогрессии, зная, что сумма крайних членов равна 16,
а произведение средних равно 60.
Решение: а1 — первый член прогрессии;
а2 = а1 + d — второй член прогрессии
а3 = а1 + 2d — третий член прогрессии
а4 = а1 + 3d — четвёртый член прогрессии
а1 + а4 =16          а1 + а1 + 3d = 16            2a1+3d=16   a1 = (16-3d)/2
а2*а3= 60           (а1+d)(a1+2d) = 60
〈(16-3d)/2 +d〉〈(16-3d)/2 +2d〉 = 60
(16-d)/2 * (16+d)/2 = 60
16² — d² = 240
d² = 16
d = 4  Разность прогрессии принимаем за 4,
т.к. прогрессия по условию — возрастающая.
Тогда а1 = (16-12)/2 = 2.
а2 = 6;   а3 = 10,   а4 = 14.
Ответ: 2;6;10;14.

Задача 4. В арифметической прогрессии сумма пятого и шестого членов  равна 23, а первый член равен -2.
Сколько нужно взять членов прогрессии, чтобы их сумма равнялась 33?
Решение: а1 = -2
a1 + a5 = 23  ⇒   а1 + 4d + a1 + 5d = 23   ⇒    -2 + 4d — 2 + 5d = 23
9d = 27    d = 3
Сумма n членов арифметической прогрессии равна
полу-сумме первого и n-ного члена, умноженная на n.
[a1 + a1 + d(n-1)]* n/2 = 33
[-2 -2 + 3(n-1)]*n = 66   ⇒    (3n-7)n =66
3n² — 7n — 66 = 0   Решая данное полное квадратное уравнение
через дискриминант, получим
n1 = (7+29)/6 = 6
n2 = (7-29)/6 = -11/3  Не подходит по условию задачи.
Ответ: число членов прогрессии равно 6.

На сегодня всё. Успехов и до новых задач!