Геометрия — просто!

Добрый день, друзья! Продолжаем подготовку к экзаменам по математике. И сегодня на очереди задачи на среднюю скорость.
Эти задачи достаточно просты, однако в них есть некоторая изюминка, которая поддаётся далеко не всем.
Остановимся на ней подробнее.
Мы знаем, что расстояние, это произведение скорости на пройденное время.
Также, скорость — это расстояние, делённое на время, а время — это расстояние, делённое на скорость.
Поэтому, когда разговор идёт о средней скорости, ни в коем случае НЕЛЬЗЯ просто сложить эти скорости и разделить на количество пройденных отрезков. Необходимо такие задачи решать с учётом пройденного расстояния и затраченного времени.
Давайте разберём это подробнее в примерах.

Пример 1. Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/час, следующие 315 км со скоростью 90 км/час и последние 120 км со скоростью 80 км/час. Необходимо найти среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение: было бы совершенно неправильно сложить значения трех скоростей и разделить на 3.
Всё дело в том, что автомобиль ехал разное расстояние на каждом из отрезков, поэтому, необходимо вычислить общее расстояние, которое он прошёл и общее затраченное им время.
После этого мы можем найти среднюю скорость, разделив расстояние на время.
t1 = 300/60 = 5 часов
t2 = 315/90 = 3,5 часа
t3 = 120/80 = 1,5 часа
Итого, общее время поездки составило 5+3,5+1,5 = 10 часов.
Расстояние, которое проехал автомобиль за это время:
300+315+120 = 735 км.
Средняя скорость равна 735/10 = 73,5 км/час.
Ответ: средняя скорость автомобиля 73,5 км/час.

Пример 2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 84 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист.
Известно, что за 1 час автомобилист проезжает на 48 км больше,
чем велосипедист.
Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5 часов 36 минут позже автомобилиста.
Решение: В данной задаче необходимо свести в одну формулу выражения S, v, t для автомобилиста и велосипедиста.
Пусть скорость велосипедиста Х,
тогда, расстояние в 84 км он прошёл за 84/Х часов.
Скорость автомобилиста  на 48 км больше, чем скорость велосипедиста, значит она равна Х+48.
Время, за которое автомобилист прошёл расстояние в 84 км,
равно 84/(Х+48) часов.
По условию задачи сказано, что велосипедист прибыл в пункт В
на 5 часов 36 минут позже, т.е. он затратил время на 5 36/60 часа больше,
или на 5,6 часа.
Составляем уравнение:
84/Х — 84/(Х+48) = 5,6  Сокращаем числители правой и левой части уравнения на 5,6
15/Х — 15/(Х+48) = 1
15Х + 720 — 15Х = Х² + 48Х
Х² + 48Х — 720 = 0    Решая уравнения с помощью теоремы Виета,
находим корни:
Х1 = 12;
Х2 = -60  не подходит по смыслу.
Ответ: скорость велосипедиста равна 12 км/час.

Пример 3. Из разных городов, расстояние между которыми 600 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля.
Скорость первого на 15 км/час меньше, чем скорость второго.
Второй автомобиль прибыл в конечный пункт на 1 час 20 минут раньше, чем первый.
Найдите скорость второго автомобиля.
Решение: Пусть скорость второго автомобиля будет Х км/час,
тогда скорость первого — (Х-15) км/час.
Второй автомобиль затратил на всю дорогу  600/Х часов,
а первый — 600/(Х-15) часов.
Причем, первый автомобиль ехал дольше на 1 час 20 минут,
или на 1  1/3 часа.
Составляем уравнение:
600/(Х-15) — 600/Х = 4/3  Сокращаем числители дробей на 4.
150/(Х-15) — 150/Х = 1/3
450Х — 450Х + 6750 = Х² — 15Х
Х² — 15Х — 6750 = 0 Применяя общее решение уравнения через дискриминант, получим:
Х1 = 90
Х2 = -75  не подходит по смыслу задачи.
Ответ: скорость второго автомобиля равна 90 км/час.

Пример 4. Водитель ехал с постоянной скоростью из города А в город Б, расстояние между которыми равно 240 км.
Отправившись обратно в А, от увеличил скорость на 20 км/час.
По пути он сделал остановку на 1 час, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в Б.
Найти скорость машины из А в Б.
Решение: Пусть скорость автомобиля из А в Б равна Х.
Тогда от затратил на прохождение 240 км   240/Х часов.
Обратно его скорость была Х+20 км/час.
И время, за которое  он прошёл 240 км, равно 240/(Х+20).
Причем, обратно он ехал на 1 час меньше.
Составляем уравнение:
240/Х — 240/(Х+20) = 1
240Х + 4800 — 240Х = Х² + 20Х
Х² + 20Х — 4800 = 0
Решаем через дискриминант с чётным вторым коэффициентом:
Х1,2 = -10 ±√(10² + 4800) = -10 ±√4900 = -10 ±70.
Х1 = -10 + 70 = 60
Х2 = -10 — 70 = — 80 не подходит по смыслу задачи.
Ответ: Скорость автомобиля на пути из А в Б равна 60 км/час.

На сегодня. всё.
Успехов и до новых задач!