Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
Сегодня на очереди новые задачи из сборника ОГЭ-2015 математика.
Наверно, больше нет ни  одной задачи,
к которой бы ученики относились столь абсолютно полярным образом.
От любви — до полного неприятия.
Про эти задачи рассказывают истории, делают мультфильмы.
И всё ради того, чтобы дети поняли:
сколько из одной трубы втекает,
а из другой — вытекает.
Итак, сегодня у нас задачи
про бассейн и трубы!

Задача 1. Через первую трубу проходит на 4 литра воды в минуту меньше, чем через вторую трубу.
Сколько литров в минуту проходит через первую трубу, если резервуар объёмом 48 литров она наполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба?

Решение: и снова, в который раз, мы возвращаемся к связи между величинами: время, скорость, расстояние.
Только, в данной задаче и в последующих, роль расстояния будет играть объём резервуара, а роль скорости — пропускная способность труб.

                                          v                                  t                                 S
1 труба                             х                               48/х                            48
2 труба                           х+4                        48/(х+4)                          48

Обе трубы наполняют резервуар объёмом 48 литров.
Пропускная способность первой —                  х л/мин
Пропускная способность второй —             х+4 л/мин
Время, за которое первая труба наполнит резервуар 48/х
Время, за которое вторая труба  наполнит резервуар 48/(х+4)
Первое время на 2 минуты больше, чем второе.
Чтобы их приравнять, необходимо от времени работы первой трубы вычесть  2.

На этом условии составляем уравнение:
48/х — 2 = 48/(х+4)   Делим правую и левую часть уравнения на 2
24/х — 1 = 24/(х+4)   Общий множитель х(х+4)

24(х+4) — х(х+4) = 24х
24х + 96 — х² — 4х = 24х
х² + 4х — 96 = 0   Решаем данное уравнение по теореме Виета.
Произведение корней равно 96;
сумма корней равна -4.
х1 = 8
х2 = -12   Не подходит по смыслу задачи.
Ответ: Через первую трубу проходит 8 литров воды в минуту.

Задача 2. Через первую трубу проходит на 5 литров воды в минуту меньше, чем через вторую трубу.
Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 400 литров она наполняет на 2 часа 20 минут быстрее, чем первая труба наполняет резервуар объёмом 900 литров?

Решение: как и в первой задаче делаем таблицу -

                                           v                     t                S
1 труба                            х-5            900/(х-5)        900
2 труба                             х                 400/х            400
Теперь мы принимаем пропускную способность второй трубы за  х л/мин
Тогда пропускная способность первой трубы                                    х-5  л/мин
Время, за которое первая труба наполнит резервуар  900/(х-5)
Время, за которое вторая труба наполнит резервуар  400/х
Второе время на 2 часа 20 минут,  или на 140 минут меньше, чем первое.

По этим данным составляем уравнение:
900/(х-5) — 140 = 400/х        Делим правую и левую часть уравнения на 20
45/(х-5) — 7 = 20/х       Общий множитель   х(х-5)
45х — 7х(х-5) = 20(х-5)
45х — 7х² + 35х = 20х — 100
7х² + 20х — 35х — 45х — 100 = 0
7х² — 60х — 100 = 0    Полное квадратное уравнение
решаем с помощью дискриминанта.
х1 = 10
х2 = -10/7   Не подходит по смыслу задачи.
Ответ: Вторая труба пропускает 10 литров воды в минуту.

Задача 3. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая труба?

Решение: и в который раз без таблицы нам не обойтись -

                                     v                              t                          S
1 труба                        х                            1/х                         1
2 труба                        у                             1/у                        1

Пропускная способность 1 трубы за 1 час    х  л/час
Пропускная способность 2 трубы  за 1 час   у  л/час
Общая пропускная способность труб за 1 час  равна  х+у    л/час.
За 2 часа они обе наполнят бассейн.  Объём бассейна примем за 1.
Составляем первое уравнение:  2(х+у) = 1

Второе уравнение составляем из условия,
что время работы первой трубы на 3 часа меньше:
1/у — 3 = 1/х   Общий множитель  ух
х — 3ху = у
Из первого уравнения имеем:
у = 1/2 — х   Подставляем во второе уравнение:
х — 3х(1/2-х) = 1/2 — х    раскрываем скобки
х — 3х/2 + 3х² = 1/2 — х         Домножаем на 2
правую и левую часть уравнения
2х — 3х + 6х² = 1 — 2х
6х² + х — 1 = 0 
Полное квадратное уравнение решаем с помощью дискриминанта
х1 = 1/3
х2 = -1/2   Не подходит по смыслу задачи.
Пропускная способность первой трубы равна 1/3.
Время, за которое первая труба наполнит бассейн,  равно 1: 1/3 = 3 часа.
Ответ: 3 часа.

На сегодня всё. Успехов и до новых задач!

Комментарии (2) на “Задача про бассейн и трубы”