Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
Продолжаем решение задач по геометрии части 2 ОГЭ.
И сегодня на очереди задачи типа —
треугольник вписан в окружность.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача. 1. Треугольник со сторонами АВ=15 и АС=17 вписан в окружность.
Необходимо найти радиус окружности,
если косинус угла между этими сторонами равен 45/51.
Решение:
I. в данной задаче необходимо применить сразу 2 теоремы — синусов и косинусов.
По теореме косинусов мы найдём третью сторону треугольника,
затем по косинусу угла найдём его синус,
а после этого по теореме синусов найдём радиус описанной окружности.
а). теорема косинусов гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.
ВС² = АС² + АВ² — 2•АВ•АС•cosA .
ВС² = 17² + 15² — 2•15•17•45/51 = 289 + 225 — 2•5•3•17•45/51 = 514 — 450 = 64
ВС = 8
б). cosA = 45/51
cos²A + sin²A = 1
sin²A = 1 — cos²A = 1 — (45/51)² = (51² — 45²)/51² = 96•6/51² = 16•6•6/51².
sinA = 4•6/51 = 24/51 = 8/17
в). Теорема синусов читается так: отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около этого треугольника окружности.
ВС/sinA = D
8/8/17 = D
D= 17.
II. Если после нахождения стороны ВС треугольника мы увидим,
что сумма  квадратов сторон АВ и ВС равна квадрату стороны АС,
то мы поймём, что перед нами прямоугольный треугольник.
А радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, т.е. 17/2 = 8,5
Ответ: радиус окружности равен 17/2 = 8,5.

Задача 2. Треугольник АВС вписан в окружность, АВ=12, АС=6, S_АВС = 18,
угол А является острым.
Необходимо найти радиус окружности, описанной около данного треугольника.
Решение: в данной задаче опять применим теорему синусов для нахождения радиуса описанной окружности.
Нам нужно будет найти значение синуса острого угла А и сторону ВС.
а). Одна из пяти основных  формул площади треугольника
S = 1/2 АВ•АС•sinA
1/2 •12•6•sinA = 18
sinA = 18/36 = 1/2
A = 30º.
cosA = √3/2
б). По теореме косинусов находим сторону ВС.
ВС² = АС² + АВ² — 2•АВ•АС•cosA .
ВС² = 6² + 12² — 2•6•12•√3/2 = 36 + 144 — 72•√3 = 180 — 72•√3
ВС = √(180 — 72•√3).
в). Применяем теорему синусов для нахождения диаметра окружности:
D = ВС/ sinA = √(180 — 72•√3) : 1/2 = 2√(180 — 72•√3).
R = √(180 — 72•√3).
Ответ: радиус описанной окружности равен √(180 — 72•√3).

Задача 3. Углы К и М треугольника РКМ равны соответственно 74º и 61º.
Необходимо найти КМ, если диаметр окружности, описанной около треугольника РКМ, равен 18.
Решение:
Если в предыдущих задачах нам необходимо было найти радиус описанной окружности, то в данной задаче радиус дан. Поэтому, зная синус угла, мы сможем найти противолежащую сторону.
Сумма двух углов треугольника К и М равна 74+61 = 135º.
Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180º, выходит, что угол Р=45º.
Синус угла 45º равен √2/2.
По теореме синусов находим КМ.
КМ/sinP = D
KM = D•sinP = 18•√2/2 = 9√2.
Ответ: Сторона КМ равна 9√2.

Задача 4. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, дины которых относятся как 5:7:8. Необходимо найти радиус окружности, если меньшая из сторон треугольника равна 12.
Решение: Углы в треугольнике пропорциональны дугам, на которые треугольник делит окружность.
5х + 7х + 8х = 180º
20х = 180
х = 9.
Отсюда, меньший угол равен 45º.
Синус 45º = √2/2.
Находим диаметр описанной окружности:
D = 12/sin45
D = 12/√2/2 = 24/√2 = 12√2.
R = D/2 = 6√2
Ответ:  радиус окружности равен 6√2.

На сегодня всё.
Успехов и до новых задач!