Геометрия — просто!

Здравствуйте, друзья!
Сегодня мы рассмотрим задачу из курса 8 класса, которая будет также полезна и нынешним выпускникам
9 класса.
Всё потому, что в ней применяются формулы для определения
площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.


Задача:
Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона равна 10см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей!

Решение: Опустим перпендикуляр ВН из вершины
треугольника В  на основание АС.
Мы знаем, что  этот перпендикуляр одновременно является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. Т.е. АН=СН=6 см.

Из прямоугольного треугольника АВН, зная гипотенузу, АВ=10см,
и катет АН=6см, находим второй катет ВН.
По теореме Пифагора ВН = √(10² — 6²) = √64 = 8.
Отсюда, площадь треугольника АВС можно вычислить по формуле
S = 1/2 * АС* ВН = 1/2 * 12 * 8 = 48см².

Вместе с тем, площадь треугольника можно вычислить по формуле S = pr,
где p — полупериметр треугольника, р = (10+10+12)/2 = 16
r — радиус вписанной окружности.
Имеем: pr = 48   ⇒  r = 48/p = 48/16 = 3см.

Площадь треугольника через произведение сторон
и радиус описанной окружности можно выразить так:
S = abc/4R, где
а,в,с — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Площадь треугольника нам известна,  длины сторон тоже,
можем найти радиус.
48 = 10*10*12/4R   ⇒ 
R = 10*10*12/4*48 = 6,25см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 3 см,
радиус описанной окружности равен 6,25 см.

На сегодня всё. Успехов и до новых задач!

Комментарии (2) на “Основание АС равнобедренного треугольника равно 12”