Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!  Для учеников девятых классов наступает горячее время. Кто-то подтягивает русский, кто-то — обществознание, ну а кто-то по уши в ОГЭ по математике.
И сегодня, для большего понимания математики, мы решим некоторые задания из сборника типовых вариантов.
Задание 1. Какое из данных чисел принадлежит промежутку 〈6,7〉?
√6,     √7,      √46,      √55.
Решение: Для того, чтобы сравнивать числа, необходимо их привести к одинаковому виду.
Если нам даны 4 корня, а промежуток установлен в целых числах, то в данном случае есть два варианта решения этой задачи.
Либо мы извлекаем четыре корня и смотрим, попадают ли  они в промежуток;
либо записываем промежуток в виде корней и сравниваем одинаковые выражения.
Второй вариант предпочтительней, поэтому, можно записать,
что 6=√36, а 7=√49.
Теперь у нас есть промежуток 〈√36, √49〉.
Здесь сразу видно, что число   √46 попадает в этот промежуток.
Ответ: Число   √46.

Задание 2. Решить неравенство (х+2)(х-5)>0
Решение: данный вид неравенств решается методом интервалов.
Здесь надо понимать 3 основных постулата.
1. Коэффициент при х ВСЕГДА должен быть положительный. Если это не так, умножаем правую и левую часть неравенства на (-1) и меняем знаки. При этом надо помнить, что при таком умножении будет меняться и знак неравенства на противоположный.
2. Получив произведение множителей, находим корни, при которых каждый из множителей становится равным нулю и откладываем эти корни на числовой оси.
3. Правее правого корня знак неравенства ВСЕГДА будет положительным. При переходе через корень знак меняется на противоположный.
Поэтому, в данном варианте мы имеем:
от -∞ до -2 — знак +
от -2 до +5 — знак -
от +5 до +∞ — знак +.
Ответ: 〈 -∞; -2〉 ∪ 〈 +5; +∞〉

Задание 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и √295.
Найти гипотенузу.
Решение: Если в прямоугольном треугольнике нам известны 2 катета,
то гипотенузу находим по теореме Пифагора:
27² + (√295)² = 729 + 295 = 1024.
Это есть квадрат гипотенузы. А длина гипотенузы равна  √1024 = 32.
Ответ: длина гипотенузы равна 32.

Задание 4. Найти площадь квадрата, описанного вокруг окружности
радиуса 45.
Решение: Если радиус окружности равен 45, то её диаметр будет 2*45 = 90.
А, поскольку сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности,
то его площадь будет равна 90*90 = 8100.
Ответ: площадь квадрата равна 8100.

Задание 5. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 37° и 41°. Найти больший угол параллелограмма.
Решение: Диагональ делит острый угол параллелограмма на 2 угла. Следовательно, острый угол параллелограмма равен 37+41 = 78°.
Поскольку углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне в сумме дают 180°, как односторонние углы,
то больший угол параллелограмма равен 180-78 = 102°.
Ответ больший угол параллелограмма равен 102°.

Задание 6. Решить неравенство (2х+2)²>(х-5)²
Решение: раскрываем скобки
4х² + 8х + 4 > х² — 10х + 25
4х² + 8х + 4 — х² + 10х — 25 > 0
3х² + 18х — 21 > 0
х² + 6х — 7 > 0
(х+7)(х-1) > 0
Решая данное неравенство методом интервалов имеем корни 1 и -7.
Правее правого корня плюс
Между 1 и -7 минус
Левее -7  плюс.
Ответ: ( -∞; -7) ∪ ( +1; +∞)

Задание 7. В параллелограмме АВСД прямая АС делит угол пополам.
Под каким углом пересекаются диагонали параллелограмма?
Решение: в параллелограмме АВСД прямая АС является диагональю.
Если диагональ является также и биссектрисой (делит угол пополам), то этот параллелограмм  — ромб.
А в ромбе диагонали перпендикулярны в точке пересечения.
Значит, угол между ними равен 90°.
Ответ:  90°.

Задание  8. Решить уравнение (2х-5)²(х-5) = (2х-5)(х-5)²
Решение: Поскольку наибольшая степень Х в данном уравнении равна 3,
то корней здесь тоже должно быть 3.
И грубейшей ошибкой здесь будет сокращение правой и левой части уравнения. В таком случае мы можем потерять корни.
А делать надо вот как:
(2х-5)²(х-5) — (2х-5)(х-5)² = 0
(2х-5)(х-5)(2х — 5 — (х — 5)) = 0
(2х-5)(х-5)(2х — 5 — х + 5) = 0
(2х-5)(х-5)х = 0
х1 = 0
х2 = 5/2
х3 = 5
Ответ: 0; 2,5; 5

На этом пока всё. Успехов и до новых задач!