Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
Сегодня мы будем решать задачи на скорость течения реки, которые являются частью общих задач на движение.
В задачах на скорость реки важно составить уравнение относительно одного неизвестного, ну, а решать уравнение первой или второй степени
ученики девятого класса конечно же умеют.
Именно поэтому я буду упор делать на правильность составления уравнений, а не на их решение. Итак:

Задача 1.  Моторная лодка прошла расстояние между двумя пунктами по реке, туда и обратно, за 6,4 часа со скоростью 20км/час.
Расстояние между пунктами равно 60 км.
Найти скорость течения реки.
Решение:  Примем скорость  реки за х.
Тогда, скорость лодки по течению равна (20+х) — река помогает.
Скорость лодки против течения равна (20-х) — река мешает.
В обоих случаях пройденное расстояние равно 60км.
Время, за которое лодка прошла всё расстояние
по течению равно   60/(20+х).
Время, за которое лодка прошла всё расстояние
против течения равно  60/(20-х).
На всю дорогу моторная лодка затратила 6,4 часа.
Записываем уравнение:
60/(20+х) + 60/(20-х) = 6,4
Перед нами три дроби, которые надо алгебраически сложить.
Перед тем, как это сделать и найти общий знаменатель,
я рекомендую привести дробь 6,4 в вид простой  неправильной дроби.
6,4 = 64/10 = 32/5.
60/(20+х) + 60/(20-х) = 32/5
И ещё одно замечание, прежде чем мы начнём решать эти дроби.
Можно увидеть, что в числителях левой и правой части уравнения числа,
которые можно разложить на множители, а затем одинаковые из них сократить.
4•15/(20+х) + 4•15/(20-х) = 4•8/5  Сокращаем на 4.
15/(20+х) + 15/(20-х) = 8/5 Теперь решаем:
15•5(20-х) + 15•5(20+х) = 8(20-х)(20+х)
1500 — 75х + 1500 + 75х = 8(400 — х²)  Приводим подобные:
3000 = 3200 — 8х²
8х² = 200
х² = 25
х = ±5,  корень -5 не подходит по смыслу.
Ответ: скорость течения реки —  5 км/час

Задача 2. Катер прошёл по течению 28 км, а затем 18 км против течения, затратив на весь путь 10 часов.
Найти скорость течения реки, если скорость катера в  равна 5 км/час.
Решение: Примем скорость реки за х.
Скорость катера по течению равна (5+х)
Скорость катера против течения равна (5-х)
Время, за которое катер прошёл 28 км по течению равно 28/(5+х).
Время, за которое катер прошёл 18 км против течения  равно 18/(5-х).
На всю дорогу катер затратил 10 часов.
Записываем уравнение:
28/(5+х) + 18/(5-х) = 10
14(5-х) + 9(5+х) = 5(5-х)(5+х)
70 — 14х + 45 + 9х = 125 — 5х²
5х² — 5х — 10 = 0  Делим правую и левую часть уравнения на 5:
х² — х — 2 = 0
По теореме Виета находим корни
х1 = 2
х2 = -1  Не подходит по смыслу.
Ответ: скорость течения реки равна 2 км/час.

Задача 3. Катер проходит 96 км вниз по течению реки от А до В и обратно за 14 часов. Одновременно с катером из А отправился плот.
На пути обратно катер встретил плот на расстоянии 24 км от А.
Найти скорость катера и скорость течения реки.
Решение: Примем скорость течения реки за х,
а скорость катера в стоячей воде за у.
Скорость катера по течению равна у + х.
Скорость катера против течения равна у — х.
Время, за которое катер прошёл 96 км по течению равно 96/(у+х)
Время, которое катер прошёл 96 км против течения равно  96/(у-х)
На всю дорогу катер потратил 14 часов.
96/(у+х) + 96/(у-х) = 14, сократив правую и левую часть уравнения на 2, имеем:
48/(у+х) + 48/(у-х) = 7.
Мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными.
Необходимо второе уравнение.
Катер встретился с плотом на расстоянии 24 км от А.
Плот прошёл 24 км за 24/х часов.
За это время катер прошёл 96 км по течению и (96-24) км против течения.
96/(у+х) + 72/(у-х).
Составляем второе уравнение:
96/(у+х) + 72/(у-х) = 24/х Делим правую и левую часть уравнения на 24.
Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
48/(у+х) + 48/(у-х) = 7
4/(у+х) + 3(у-х) = 1/х
Решим второе уравнение:
4ху — 4х² + 3ху + 3х² = у² — х²
4ху — 4х² + 3ху + 3х² + х² = у²
7ху = у²
7х = у    Подставляем это выражение в первое уравнение:
48/(7х+х) + 48/(7х-х) = 7
48/8х + 48/6х = 7
6/х + 8/х = 7
14/х = 7
х = 2,   у = 7•2 = 14
Ответ: скорость катера 14 км/час, скорость течения реки 2 км/час.

Задача 4.  Катер проходит расстояние  от А до В, равное 28 км,
и обратно за 5 часов 50 минут.
Однажды, выйдя из В, расположенное ниже А по течению, катер,
пройдя 2 часа, встретил плот, который вышел из А за 4 часа до отправления катера из В.
Найти собственную скорость катера и скорость течения реки.
Решение: Примем собственную скорость катера за х,
а скорость течения реки за у.
Время, которое затратит катер на прохождение 28 км от А до В  и обратно, равно
28/(х+у) + 28/(х-у) = 5 5/6
28/(х+у) + 28/(х-у) = 35/6  Разделим правую и левую часть уравнения на 7:
4/(х+у) + 4/(х-у) =  5/6
Второе уравнение получим из второй части условия.
За 2 часа против течения лодка прошла 2(х-у) км,
а плот за 4+2 часов прошёл по течению 6у км.
Оба они прошли 28 км. Составляем уравнение:
2(х-у) + 6у = 28
2х — 2у + 6у = 28
2х = 28 — 4у
х = 14 — 2у  Подставляем это выражение в первое уравнение:
4/(14-2у+у)  + 4/(14-2у-у)  = 5/6
4/(14-у)  + 4/(14-3у)  = 5/6
24(14-3у) + 24(14-у) = 5(14-у)(14-3у)
336-72у+336-24у = 5(196-56у+3у²)
672-96у = 980-280у+15у²
15у²-184у+308=0
Решая это уравнение получим 2 корня:
х1 = 2
х2 ≈ 10,27
Ответ: скорость течения реки равна 2 км/час; скорость катера 10 км/час.

На этом мы заканчиваем решение задач на скорость течения реки.
Успехов и до новых задач!