Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
Мы продолжаем решение конкурсных задач по математике, которые давались при поступлении в ВУЗы в семидесятых годах прошлого столетия. 
Сегодня мы будем решать
задачи в целых числах.
Думается, что не смотря на возраст этих заданий, они смогут пригодиться нынешним и будущим выпускникам при их подготовке для сдачи ОГЭ и ЕГЭ.

Задача 1. Если сложить цифры двузначного числа, то в сумме они дадут 6. 
А, прибавив к этому числу 18, получим число, которое записано теми же цифрами, но в обратном порядке.
Найти это число.
Решение: любое двузначное число можно записать в виде 10х + у,
где х — число десятков, у — число единиц,
х и у — цифры в записи двузначного числа.
Зная это, составляем первое уравнение:
х+у = 6
Теперь составляем второе уравнение согласно данным условия:
10х + у + 18 = 10у + х, или
9у — 9х = 18   Делим правую и левую часть уравнения на 9
у — х = 2
Объединяем 2 уравнения в систему:
у + х = 6
у — х = 2  Складываем правые и левые части уравнений
2у = 8
у = 4
х =   у — 2 = 2.
Ответ: искомое число 24.

Задача 2. Если взять двузначное число и умножить его  на сумму его цифр, получится 405.
А если же число, которое написано  этими цифрами, но  в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, получится 486.
Найти это число.
Решение: первое двузначное число можно представить в виде 10х+у.
Число, обратное ему, будет выглядеть 10у+х.
Сумма цифр числа записывается следующим образом: х+у
Составляем уравнения согласно условию:
(10х+у)(х+у) = 405
(10у+х)(х+у) = 486       Мы видим, что в обоих уравнениях
присутствует множитель (х+у).
Поскольку х и у числа положительные, мы можем разделить правые и левые части уравнений на множители (10х+у) и (10у+х).
Имеем:
х+у = 405/(10х+у)
х+у = 486/(10у+х)   Если левые части уравнений равны,
то равны и правые их части. Приравняем:
405/(10х+у) = 486/(10у+х)  После сокращения числителей получим:

5/(10х+у) = 6/(10у+х)  Теперь приводим выражение к общему знаменателю:
50у + 5х = 60х + 6у
44у = 55х
4у = 5х
х = 4у/5 = 0,8у  Делаем замену х в первом уравнении.
(10х+у)(х+у) = 405
(10*0,8у + у)(0,8у + у) = 405
9у*1,8у = 405
1,8у² = 45
18у² = 450
у² = 25
у1 = 5
у2 = -5      Не удовлетворяет условиям задачи.
х = 0,8у = 0,8*5 = 4.
Ответ: искомое число 45.

Задача 3. Если взять сумму квадратов цифр двузначного числа,
то она будет на 11 больше самого числа.
А если взять удвоенное произведение цифр,
то оно будет на 5 меньше самого числа.
Найти это число.
Решение: Запись двузначного числа —   10х + у.
Запись суммы квадратов цифр числа —   х² + у²
Запись удвоенного произведения цифр числа —    2ху.
Составляем систему уравнений:
10х + у  + 11 = х² + у²
10х + у — 5 = 2ху     После некоторых преобразований получим:

10х + у  = х² + у² — 11
10х + у  = 2ху + 5               Левые части уравнений равны,
значит равны и правые части:
х² + у² — 11 = 2ху + 5
х² + у² — 2ху = 16
(х — у)² = 16   Извлекаем корень из правой и левой части уравнения:
х — у = 4.           х = у +4
х — у = -4           х = у — 4  Делаем замену х во втором уравнении:

10(у+4) + у — 5 = 2у(у+4)
10у + 40 + у — 5 = 2у² + 8у
2у² — 3у — 35 = 0    Решая полное квадратное уравнение
с помощью дискриминанта, получим:
у1 = 5     х1 = у + 4 = 9
у2 = -3,5  Не удовлетворяет условиям задачи.

Теперь решаем то же самое при х = у — 4
10(у-4) + у — 5 = 2у(у-4)
10у — 40 + у — 5 = 2у² — 8у
2у² — 19у + 45 = 0  Так же, решая полное квадратное уравнения
при помощи дискриминанта, получим:
у3 = 5       х3 = у — 4 = 1.
у4 = 4,5  Не удовлетворяет условиям задачи

Ответ: первое число 95, второе число 15.

 На сегодня всё.
Успехов и до новых задач!