Геометрия — просто!

      Добрый день, дорогие друзья!
      Сегодня мы продолжим тему геометрия трапеция задачи 8 класс.
И я подобрал на сегодня несколько необычные задачи.
Чем же они необычны?
Дело в том, что они из самого первого сборника под редакцией М.И. Сканави «Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы».
Этот сборник вышел в далёком 1969 году, а задачи, которые в нём напечатаны, я даю своим ученикам, начиная с 8 класса.
ВТУЗ — это высшее техническое учебное заведение (институт), которое готовило инженеров, т.е. людей с математическим складом ума.  Итак:

Задача 1.  Большее основание трапеции равно 24 см. Найдите её меньшее основание, если расстояние между серединами её диагоналей равно 4 см.
Решение: По условию задачи AD=24 см, KP=4 см.
Если KP — расстояние между серединами диагоналей, то КР лежит на средней линии MN трапеции.
А это значит, что средняя линия трапеции включает в себя среднюю линию MP треугольника ABD.
А мы знаем, что средняя линия треугольника параллельна  основанию и равна его половине.
Т.е. MP равно половине от 24 см, или 12 см.
Итого имеем MK+KP = 12 см  или MK+4=12 см. Отсюда MK = 12-4 = 8 см.
Но МК является средней линией для треугольника АВС, параллельно основанию ВС и равна его половине.
Поскольку средняя линия равна 8 см, то основание будет в 2 раза больше, или 16 см.
Ответ: Меньшее основание трапеции ВС равно 16 см.

Задача 2. Боковые стороны равнобедренной трапеции  при их продолжении пересекаются под прямым углом. Найти все стороны трапеции, если её площадь равна 12 см², а высота равна 2 см.
Решение: Поскольку угол М равен 90º, а трапеция равнобедренная, то и треугольник  AMD будет равнобедренный и прямоугольный.
А мы знаем, что острые углы в таком треугольнике равны 45°.
Поскольку BN и СР — высоты трапеции, они образуют прямые углы.
Значит, треугольники  ABN  и DCP — прямоугольные.
Но у них есть по одному острому углу, равному 45°.
А мы знаем, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, следовательно, углы в этих треугольниках при вершинах В и С будут так же по 45°.
А это значит, что данные треугольники будут также прямоугольные и равнобедренные.
Отсюда BN=AN=2 см, CP=DP=2 см. И мы можем составить уравнение для площади трапеции.
Площадь трапеции равна произведению полу-суммы оснований на высоту.
(2+х+2+х) / 2  * 2 = 12   2х+4 = 12   2х = 8     х = 4см.
Верхнее основание ВС = 4 см.
Нижнее основание AD= 2+4+2 = 8 см.
Боковые стороны AB и CD находим из прямоугольных треугольников по теореме Пифагора.
Оба катета в треугольниках равны по 2 см, значит, гипотенуза в них будет 2√2 см.
Ответ: 4 см, 8 см, 2√2 см,  2√2 см.

Задача 3.  Один из углов трапеции равен 30°, а боковые стороны при продолжении пересекаются под прямым углом. Найти меньшую сторону трапеции, если её средняя линия равна 10 см, а одно из оснований равно 8 см.
Решение: В трапеции ABCD средняя линия равна 10 см.
Значит, по определению средней линии трапеции получаем сумму оснований трапеции, равной 10*2 = 20см.
Одно из оснований равно 8 см, значит, второе основание будет 20-8 = 12 см.
Получается, что AD=12 см, ВС=8 см.
Из треугольника AKD, где К — прямой угол, имеем: АК лежит против угла в 30°, значит АК равно половине гипотенузы треугольника, или половине AD. т.е. 12:2 = 6 см.
Теперь рассмотрим треугольник ВКС.
Этот треугольник подобен треугольнику AKD, поскольку они оба прямоугольные, а углы ВСК и ADK равны, как соответственные при параллельных прямых ВС и AD и секущей CD.
Значит, угол ВСК тоже равен 30°.
Отсюда имеем, что ВК равно половине ВС, или 8:2 = 4 см.
Тогда АВ = АК — ВК = 6 — 4 = 2 см.
А точно ли она меньшая?
Из двух прямоугольных треугольников АВМ и CND ВМ=CN. Угол D=30°, угол А=60°.
АВ=ВМ:sin 60° ≈1.15 ВМ, а CD = ВМ:sin30° = 2ВМ.
Получается, АВ меньшая сторона.
Ответ: Меньшая боковая сторона трапеции равна 2 см.

Задача 4. Длины параллельных сторон трапеции AD и BC равны соответственно 25 см и 4 см, а длины непараллельных сторон АВ и CD — 13 см и 20 см. Найти площадь трапеции.
Решение: площадь трапеции равна произведению полу-суммы оснований на высоту.
Основания нам известны, значит, осталось найти высоту.
Сделаем дополнительные построения — проведём высоты трапеции ВМ и CN из точек В и С.
И рассмотрим два прямоугольных треугольника АВМ и CND.
По теореме Пифагора выразим в каждом из них квадрат высоты трапеции и приравняем друг к другу.
Примем  АМ за Х, тогда MN будет равно 4, а ND = 21-Х.
Из первого треугольника имеем ВМ² = 13² — Х².
Из второго треугольника имеем CN² = 20² — (21 — Х)².
Поскольку ВМ=CN, приравняем два выражения.
13² — Х² = 20² — (21 — Х)²
169 — Х² = 400 — 441 + 42Х — Х²
42Х = 169 — 400 + 441
42Х = 210     Х = 5
Из треугольника АВМ при гипотенузе 13 см и катете 5 см находим второй катет:
ВМ = √13² — 5² = √169 — 25 = √144 = 12.
Высота трапеции равна 12 см.
Отсюда, площадь трапеции считаем: (25+4)/2 * 12 = 174см².
Ответ: площадь трапеции равна 174 см².

На сегодня всё. В следующий раз мы продолжим решение задач  на тему геометрия трапеция 8 класс.
Успехов!

Комментарии (2) на “Геометрия трапеция задачи 8 класс.”