Добрый день, дорогие друзья!
Сегодня мы продолжим решение задач из сборника под редакцией М.И. Сканави.
И на этот раз мы будем решать задачи по геометрии параллелограмма.
Понятно, что прежде, чем приступать к решению таких задач, надо понимать, что такое параллелограмм и какие у него есть свойства.
Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны;
диагонали его делят параллелограмм на 2 равных треугольника,
а сами диагонали точкой пересечения делятся пополам.
И сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.
Вот в основном те свойства, которые в первую очередь необходимы для понимания и решения задач по геометрии параллелограмма. А теперь задачи.
Задача 1. Периметр параллелограмма равен 90 см, а его острый угол равен 60°.
Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.
Решение: Если угол А равен 60°, то угол В, лежащий рядом с ним , будет равен 180-60=120°.
Но диагональ BD делит его в соотношении 1:3, или на 4 равные части.
Получается, что одной части принадлежит 120:4 = 30°.
Следовательно, диагональ BD делит угол В на 2 угла 30° и 90°.
По рисунку угол 1 — прямой. Треугольник ABD — прямоугольный.
И угол 2 в треугольнике равен 30º, как накрест лежащий при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.
А мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Получается, что АВ=1/2 AD.
Теперь составляем уравнение для периметра.
AB+BC+CD+AD=90
1/2AD+AD+1/2AD+AD= 90
3AD=90 AD=30 AB=1/2*30 = 15.
Ответ: стороны параллелограмма равны 30 см и 15 см.
Задача 2. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его диагональ на отрезки длиной 3,2 см и 8,8 см.
Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см.
Решение: Мы знаем, что биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла.
А именно, AB:AD = BO:OD, но BO и OD равны соответственно 3,2 см и 8,8 см.
Поэтому, можно принять, что АВ = 3,2х, а AD равно 8,8х.
Противоположные стороны параллелограмма равны.
Периметр это есть сумма всех сторон параллелограмма.
Составляем уравнение: 3,2х+8,8х+3,2х+8,8х = 30 24х = 30 х = 30/24 = 5/4.
Мы нашли коэффициент пропорциональности Х=5/4.
Отсюда, сторона АВ = 3,2х = 3,2 * 5/4 = 4 см.
Сторона AD равна 8,8х = 8,8 * 5/4 = 11 см.
Ответ: стороны параллелограмма равны 4 см, 4 см, 11 см, 11 см.
Задача 3. Параллелограмм с периметром 44 см разделён диагоналями на 4 треугольника.
Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 6 см.
Найти стороны параллелограмма.
Решение: Рассмотрим два треугольника, лежащих выше диагонали d.
Периметр первого равен b+c+d.
Периметр второго равен a+c+d.
Разность периметров двух треугольников равна 6 см.
Составляем уравнение:
a+c+d — (b+c+d) = a+c+d-b-c-d = a-b = 6.
Получилось, что разность двух сторон параллелограмма равна 6 см.
Второе уравнение составляем из свойства периметра параллелограмма:
a+b+a+b = 44
2a+2b=44
a+b=22.
Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
a — b = 6
a + b = 22 Решим её методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений. Получим:
a — b + a + b = 6 + 22 2a = 28 a = 14.
a — b = 6 b = a — 6 = 14 — 6 = 8.
Ответ: Стороны параллелограмма равны 14 см, 14 см, 8 см, 8 см.
Задача 4. Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки АМ и МС длиной 6 см и 15 см соответственно.
Разность сторон параллелограмма равна 7 см.
Найти длины сторон и диагонали параллелограмма.
Решение: Примем сторону AB за a, сторону BC за b.
Из двух прямоугольных треугольников АВМ и ВМС выразим равный для них катет ВМ по теореме Пифагора.
АВ² — АМ² = ВС² — МС².
Подставляем вместо сторон известные выражения:
а² — 6² = b² — 15² или 15² — 6² = b² — а² (b — а) (b + а) = (15 — 6) (15 + 6),
но b — а = 7
7 (b + а) = 9 * 21 b + a = 9 * 3 = 27.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными, как в задаче 3.
b + a = 27
b — а = 7 Отсюда получаем 2b = 34 b = 17, a = 27 — 17 = 10.
Теперь, зная стороны параллелограмма, мы можем найти высоту ВМ.
ВМ² = 10² — 6² = 64. Отсюда ВМ = 8 см.
А теперь, из прямоугольного треугольника ВМО находим ВО.
ВМ = 8 см,
МО = АО — АМ = АС/2 — АМ = (6+15)/2 — 6 = 21/2 — 6 = 10,5 — 6 = 4,5 см.
По теореме Пифагора находим ВО.
ВО² = 8² + 4,5² = 64 + (9/2)² = 64 + 81/4 = 337/4. Или ВО = √337/2.
Поскольку BD в 2 раза больше, чем ВО, то её длина будет равна √337.
Ответ: Длины сторон параллелограмма 17 см, 17 см, 10 см, 10 см. Длина диагонали √337.
На сегодня всё. В следующий раз мы продолжим решение задач по геометрии из «Сборника для поступающих во ВТУЗы». Успехов!
Вам так же будет интересно:
Здравствуйте Сергей Сергеевич, хотела бы вас попросить показать как решаются задачи по вычеслению вида паралелограма
Заранее спасибо
До свидания
Добрый вечер, Маша!
Чтобы понять, как решаются задачи на параллелограмм, надо знать следующее.
1. Что такое параллелограмм, его свойства и признаки.
2. Частные случаи параллелограммов (прямоугольник, ромб, квадрат) и их свойства.
Эту теорию можно выучить за 1 занятие. У меня есть методика, которая позволяет это сделать.
Пишите, я вам с удовольствием отвечу.
Успехов!
круто
спасибо
очень помогли
подготовился(лась) к к-р
Пожалуйста, Саша!