Геометрия — просто!

Добрый день!
Сегодня мы решим 21 задание ОГЭ по математике.
В типовых вариантах  21 задание представлено
шестью разными задачами.
Задание 1. Решить уравнение
х³ – 3х² – х + 3 =0
Решение: объединим первый и третий, второй и четвёртый одночлены, получим:
х³ –х –( 3х² – 3) =0   Вынесем общие множители за скобки:
х(х² – 1) – 3(х² – 1) = 0
А теперь вынесем скобку (х² – 1) за скобки, получим:
(х² – 1)(х — 3) = 0
Первая скобка представляет собой разность квадратов, разложим её на множители:
(х-1)(х+1)(х-3) = 0 
Произведение трех множителей равно нулю в том случае,
когда один из них равен нулю.
х — 1 = 0   х=1
х + 1 = 0  х = -1
х — 3 = 0  х = 3
Ответ:, -1; 1; 3

Задание 2. Решить уравнение   (х² — 6х)² + 2(х — 3)² = 81
Решение: В данном блоке задач мы делаем замену переменной,
но сначала возведём в квадрат вторую скобку.
(х² — 6х)² + 2(х² — 6х + 9) = 81
В первой и второй скобках имеется выражение   х² — 6х.
Примем его за t.
х² — 6х = t, тогда х² — 6х + 9 = t + 9
t² + 2(t + 9) — 81 = 0
t² + 2t + 18 — 81 = 0
t² + 2t — 63 = 0
По теореме Виета находим корни.  t1 = -9,  t2 = 7.
А теперь делаем обратную замену.
х² — 6х = -9      х² — 6х + 9 = 0    
Это развёрнутый квадрат суммы двух чисел (х-3)² = 0.
Отсюда, корни данного уравнения равны  х1 = 3.
х² — 6х = 7        х² — 6х — 7 = 0
По теореме Виета находим корни и здесь.
х2 = 7,   х3 = -1
Ответ: -1; 3; 7

Задание 3.  Сократите дробь: 100ⁿ/2^2n-1 * 5^2n-2.
Решение: В таких задачах в самих вопросах даётся ответ, а именно:
знаменатель дроби состоит из степеней множителей 2 и 5.
Значит, число 100 необходимо тоже разложить на такие множители 2 и 5,
чтобы потом произошло сокращение.
И ещё одно, в таких задачах степень n ВСЕГДА будет сокращаться и ответом будет просто число.
А теперь продолжим: 100 раскладывается на множители 2² и 5².
Когда мы возводим степень в степень,
показатели степени перемножаются, имеем в числителе:
100ⁿ=(2²*5²)ⁿ = 2²ⁿ*5²ⁿ
2²ⁿ*5²ⁿ/2^2n-1 * 5^2n-2
При делении чисел с одинаковыми основаниями
их показатели вычитаются:
2^2n-(2n-1) *5^2n-(2n-2) = 2^2n-2n+1 *5^2n-2n+2 = 2¹ * 5² = 2*25 = 50.
Ответ 50.

Задание 4. Решить систему уравнений:
x – y = 7
x² + y² = 9 – 2xy,
для того, чтобы решить данную систему, надо сначала решить второе уравнение, а именно:
x² + 2xy + y² = 9
Слева квадрат суммы двух чисел, соберём его. А справа квадрат числа.
(х+у)² = (±3)²
х+у = 3        х+у = -3
Квадратное равнение разложили на 2 линейных  уравнения.
Теперь решаем их совместно с первым уравнением системы каждое по отдельности. Имеем:
x – y = 7
х + у = 3        Складываем эти уравнение, получим 2х = 10   х=5, у = -2
х — у = 7
х + у = -3      Складываем эти уравнение, получим 2х = 4       х = 2, у = -5
Ответ: (5, -2); (2, -5)

Задание 5. Решить неравенство

__1____    +  __1____   + __1____    < 1
(х-3)(х-4)      (х-3)(х-5)     х²-9х+20
Решение: Для решения данного неравенства надо сделать следующие действия:
1. Перенести 1 в левую часть неравенства.
2. Знаменатель третьей дроби разложить на множители по теореме Виета
(подсказка  — корни уравнения будут кратны корням в первой и второй дроби).  (х-4)(х-5)
3. Поскольку в знаменателе находится переменная,
необходимо написать ОДЗ — область допустимых значений —
те значения х, при которых дробь не имеет смысла.
х≠3; х≠4; х≠5
4. Сложить четыре дроби с разными знаменателями
(поскольку целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1), домножив числители.
Получаем: (х-5) +(х-4) + (х-3) — (х-3)(х-4)(х-5) < 0
3х-12 — (х-3)(х-4)(х-5) < 0
3(х-4) — (х-3)(х-4)(х-5) < 0     Выносим общий множитель (х-4) за скобку
(х-4) • 〈3 — (х-3)(х-5)〉 < 0
(х-4) • 〈3 — (х² — 8х + 15)〉 < 0
(х-4) • (3 — х² + 8х — 15) < 0
Коэффициент при х² отрицательный.
Меняем его на противоположный, умножая вторую скобку на (-1).
При этом изменится знак неравенства на  противоположный.
(х — 4)•(х² — 8х + 12) > 0
(х — 4)•(х — 6)•(х — 2) > 0
Теперь мы можем решить неравенство методом интервалов.
Отмечаем на числовой оси все корни, которые мы нашли в числители и все корни ОДЗ из знаменателя.

        +                                 +                 +                                  +

______ 2________3 _________ 4_________ 5_________ 6___________
                       —                                                          -
В записи, где коэффициент при х всегда положительный метод интервалов гласит —
правее правого корня знак неравенства ВСЕГДА +!
При переходе через корень знак неравенства меняется на противоположный, т.е. надо проходить через корни в виде змейки.
В случае, если корень имеет чётную кратность
(например х в квадрате, в четвёртой степени, в шестой степени и т.д.),
как в нашем примере с х=4,
знак неравенства на противоположный не меняется.
Отсюда
Ответ: (-∞, 2)∪(3,4)∪(4,5)∪(6,+∞).

Задание 6. Найти значение выражения  при m = 1 — √3.

__m___     __      _____m+2____
m² – 2m + 1          m² + m — 2

Решение: Подставлять напрямую числовые значения m довольно неразумно,
т.к. получатся очень большие числа, да ещё и с корнями.
Лучше сделать разложение знаменателей и сокращение:
___m___  __   ____m+2___
(m-1)(m-1)          (m-1)(m+2)  
На m+2  сократить можно, т.к. это выражение не равняется нулю.
После сокращения получим две дроби, вычтем из одной другую.
___m__   _   __ 1__ =   __m — (m-1)___  =  ___1___
(m-1)(m-1)         m-1         (m-1)(m-1)              (m-1)(m-1)
Теперь подставляем значение m
______1_________             = ___1___   =           _1_
(1-√3 — 1)(1-√3 — 1)              (-√3)(-√3)                 3

Ответ: 1/3.

На сегодня всё с 21 заданием ОГЭ по математике. Успехов и  до новых задач!