Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
В сегодняшней части подготовки к ОГЭ-2016  мы проработаем тему — математика 9 класс системы уравнений.
Системы линейных, квадратных и смешанных уравнений решаются  достаточно просто, если знать алгоритмы решения  таких систем.
На чём мы сегодня и остановимся подробнее.

Задание 1. Решить систему уравнений
2х² + 4у² = 24
4х² + 8у² = 24х
Решение: данная система квадратных уравнений с двумя неизвестными решается методом алгебраического сложения.
Домножим правую и левую часть первого уравнения на 2. Получим:
4х² + 8у² = 48
4х² + 8у² = 24х
Левые части обоих уравнений равны, значит, равны и правые части.
48 = 24х
х = 2    Подставляем решение в первое уравнений, получим:
4*2² + 8у² = 48
8у² = 48 – 16
8у² = 32
у₁ = 2 у₂ = -2
Ответ: (2;2); (2; -2)

Задание 2. Решить систему уравнений
7х² – 5х = у
7х – 5 = у
Решение: Правые части уравнений равны, значит равны и левые  части. Приравняем их:
7х² – 5х = 7х – 5
7х² – 12х + 5 = 0
Сумма коэффициентов в данном уравнении равна 7-12+5 = 0
Значит, один из корней равен 1.
х₁ = 1.
Второй корень находим по теореме Виета, где произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену.
х₁ * х₂ = 5/7.
Значит, второй корень равен 5/7.
Находим теперь, чему равен у.
7*1 – 5 = у
у₁ = 2
7*5/7 – 5 = у
у₂  = 0
Ответ:  {(1;2) (5/7;0)}

Задание 3. Решить систему уравнений
х² + у²  + ху = 3
(х + у)² = 4
Решение:  Извлечём квадратный корень из правой и левой части второго уравнения, а в первом уравнении к правой и левой части добавим выражение ху. Получим
х² + у²  + ху  + ху = 3 + ху          (х + у)² = 3 + ху
4 = 3 + ху
ху = 1
х + у = 2
х + у = — 2      Из первого уравнения имеем : произведение двух чисел равно 1, из двух других  — сумма двух чисел равна 2 и -2.
Это теорема Виета! Решаем порознь:
ху = 1
х + у = 2
х₁ = 1; у₁ = 1
ху = 1
х + у = — 2
х₂ = -1; у₂ = -1
Ответ: {(1;1)(-1;-1)}

Задание 4. Решить систему уравнений
х² + ху + у² = 13
х + у = 4
Решение:  возведём  правую и левую часть второго уравнения в квадрат, а к правой и левой части первого уравнения прибавим ху.
х² + 2ху + у² = 13 + ху
(х + у)² = 16
(х + у)² = 13 + ху
16 = 13 + ху
ху = 3
Теперь объединим уравнения в новую систему:
х + у = 4
ху = 3
х₁ = 3   у₁ = 1
х₂ = 1   у₂ =3
Ответ: {(3;1)(1;3)}

Задание 5. Решить систему уравнений
х² + 7ху + у² = 9
3х – 2у = 1
Решение:  выразим у из второго уравнения
3х – 2у = 1
2у = 3х – 1
у = (3х – 1)/2
Теперь подставим  выражение у в первое уравнение
х² + 7х(3х-1)/2  + (3х – 1)²/4  = 9
х² + (21х² – 7х)/2 + (9х² – 6х + 1)/4 = 9
4х² + 2*(21х² – 7х) + 9х² – 6х + 1 = 36
4х² + 42х² – 14х + 9х² – 6х + 1 = 36
55х² – 20х – 35 = 0
Делим правую и левую часть уравнения на 5
11х² – 4х – 7 = 0   Сумма коэффициентов уравнения равна нулю.
Первый корень х₁ = 1
х₂ = — 7/11
у = (3х – 1)/2
у₁ = (3-1)/2 = 1
у₂ = (- 3*7/11 – 1)/2 = — 16/11
Ответ: {(1;1)(-7/11; -16/11)}

На сегодня всё!
Успехов и до новых задач!

Комментарии (2) на “Математика 9 класс системы уравнений”