Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
Продолжаем подготовку к экзаменам для 9 класса,
и сегодня на очереди
ОГЭ 2016 уравнения.
Примеры по решению уравнений широко практикуются в
21 задании ОГЭ, и,
конечно, вам необходимо знать и понимать их решение.

Задание 1.  Решить уравнение 
(х – 1)(х² + 8х + 16) = 6(х + 4)
Решение: в левой части уравнения во второй скобке находится квадратный трёхчлен.
Если присмотреться повнимательней, то можно увидеть, что это квадрат суммы двух чисел.
При этом  первое число  х, а второе число  4.
Значит, этот трёхчлен  можно разложить  на  два множителя (х + 4)(х + 4).
Тогда исходное уравнение примет вид:
(х – 1)(х + 4)(х + 4) = 6(х + 4) Дальше всё просто.
Перенесём правую часть уравнения налево.
(х – 1)(х + 4)(х + 4) — 6(х + 4) = 0
Теперь вынесем общий множитель (х + 4) за скобки:
(х + 4)[(x — 1)(x + 4) — 6] = 0 (
х + 4)(х² +4х –х – 4 – 6) = 0
(х + 4)(х² + 3х – 10) = 0
Произведение двух множителей равно нулю в том случае,
если один из них равен нулю.
Приравниваем к нулю каждую скобку.
х + 4 = 0
х₁ = -4
х² + 3х – 10 = 0 По теореме Виета находим корни
х₂ = -5;
х₃ = 2
Ответ: -5; -4; 2

Задание 2. Решить уравнение х² – 3х + √(3 – х) = √(3 – х) + 10
Решение: это иррациональное уравнение, поэтому мы должны записать О.Д.З.
Подкоренное выражение, стоящее под знаком корня, должно быть ВСЕГДА неотрицательно.
Значит, 3 – х >= 0 или   х <= 3
Теперь переносим всё в левую часть уравнения, и выражения под корнем взаимно уничтожатся.
Получим: х² – 3х — 10 = 0
Решаем уравнение по теореме Виета. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
х₁ + х₂ = 3
х₁*х₂ = -10
Отсюда находим, что х₁ = 5;  х₂ = -2.
Но, корень  х₁ = 5 не проходит по О.Д.З., где  х <= 3.
Поэтому выбираем корень  х = -2.
Ответ: -2.

Задание 3. Решить уравнение (х+3)⁴ + 2(х+3)² = 8
Решение: для решения данного уравнения сделаем замену (х+3)² =  t > 0
Получим: t² + 2t – 8 = 0
Решаем уравнение по теореме Виета. Получим корни
t₁ = -4   t₂ = 2, корень t = -4 не проходит ввиду того, что t > 0
Делаем обратную замену:
(х+3)² = 2
х² + 6х + 9 = 2
х² + 6х + 7 = 0
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта с чётным вторым коэффициентом:
х_1,2 = -3 ±√(9-7) = -3 ±√2
Ответ: х₁ = -3 + √2     х₂ = -3 — √2

Задание 4. Решить уравнение 1/(х-1)² + 4/(х-1) – 12 = 0
Решение: уравнение дробно-рациональное. Первое, что мы должны сделать в таком случае – написать О.Д.З.
Знаменатель  дроби не должен быть равен нулю.
Отсюда х≠ 1
Дроби с разными знаменателями складываем и вычитаем, применив общий знаменатель (х-1)²
1 + 4(х-1) – 12(х-1)² = 0
1 + 4х – 4 – 12х² + 24х – 12 = 0
12х² — 28х + 15 = 0
Решаем уравнение через дискриминант с чётным вторым коэффициентом:
х_1,2 = [14 ± √(196 — 12*15)]/12 =  [14 ± √(196 — 180)]/12
х₁ = (14+4)/12 = 10/12 = 5/6
х₂ = (14 – 4)/12 = 18/12 = 3/2
Ответ:  корни уравнения равны  5/6; 3/2

Задание 5. Решить уравнение (х-2)²(х-3) = 12(х-2)
Решение:  перенесём все выражения в левую часть уравнения, получим:
(х-2)²(х-3) — 12(х-2) = 0
Теперь вынесем общий множитель (х-2) за скобку:
(х-2) [(x-2)(x-3) – 12] = 0
(х-2)(х² – 5х + 6 – 12) = 0
(х-2)( х² – 5х – 6) = 0
Решаем вторую скобку по теореме Виета.
(х-2)(х-6)(х+1) = 0
Ответ: корни уравнения -1; 2; 6

На сегодня всё.
Успехов всем вам и до новых задач!