Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
Сегодня мы будем решать примеры ОГЭ по математике —
четвёртое задание, а именно уравнения.
В этом задании представлены  разные виды уравнений: линейные, квадратные, дробные, а также системы уравнений.
Для каждого из видов есть свои методы решения, о чём мы и поговорим сегодня.

Задача 1. Решить уравнение (х-9)² = (х-3)²
Решение: Не смотря на квадраты, это уравнение линейное, и его можно решать двумя способами.
Способ 1. х² — 18х + 81 = х² — 6х + 9
18х — 6х = 81 — 9
12х = 72
х = 6
Способ 2. (х-9)² — (х-3)² = 0
(х-9+х-3)(х-9-х+3) = 0
(2х-12)(-6) = 0
(-12)(х-6) = 0
х = 6
Ответ: 6

Задача 2. Решить уравнение (х+3)² + (х-7)² = 2х²
Решение: Это уравнение также приводится к линейному уравнению:
х²+6х+9+х²-14х+49=2х²
14х — 6х = 9 + 49
8х = 58
х = 7,25
Ответ: 7,25

Задача 3. Решите уравнение  х² — 4х + 35 = -9х² + 11х + 45
Решение: Уравнение квадратное.
Приводим его к каноническому виду и проверяем дискриминант.
10х² — 15х — 10 = 0     Делим правую и левую часть уравнения на 5
2х² — 3х — 2 = 0
Поскольку свободный член имеет знак -,
то уравнение ВСЕГДА будет иметь 2 корня.
_3±√(9 + 4•2•2)_  =    _3±5_
2•2                                    4
х1 = 2 х2 = -0,5
Ответ: -0,5; 2

Задача 4. Решите уравнение  х²/2 +3х + 4 = 0
Решение: В первую очередь освобождаемся от дроби в левой части уравнения.
Для этого правую и левую часть уравнения умножаем на 2.
х² + 6х + 8 = 0 Это приведённое квадратное уравнение.
И проще всего его решать по теореме Виета.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Другими словами:
х1 + х2 = -6
х1•х2 = 8
Начинаем с произведения. Раскладываем число 8 на множители и подбираем их таким образом, чтобы в сумме они дали -6.
Это очевидно -2  и -4.
Произведение двух отрицательных чисел даёт нам положительное число,
а их сумма также отрицательна.
Ответ: -4; -2

Задача 5.  Решите уравнение   х² + 3,5х = 2
Решение: Это уравнение по теореме Виета будет решить сложнее,
чем предыдущее, потому что второй множитель — дробный.
В таком случае домножим правую и левую часть уравнения на 2.
2х² + 7х = 4
2х² + 7х — 4 = 0    Придётся решать это уравнение как полное.
_-7±√(49 + 4•2•4)_  =    _-7±9_
2•2                                     4
х1 = -4 х2 = 0,5
Ответ: -4; 0,5

Задача 6. Решить уравнение   х² — 6(х — 4) — 4х + 1  = 0 
Решение: х² — 6(х — 4) — 4х + 1  = х² — 6х + 24 — 4х + 1  = х² — 10х  + 25  = 0
Если внимательно присмотреться, то можно увидеть
формулу сокращённого умножения — квадрат разности двух чисел х и 5.
х² — 10х  + 25  = (х — 5)²
Поэтому корень данного уравнения будет один.
Ответ: 5

Задача 7. Решить уравнение  -2х² + 7х  = 9
Решение: Перенесём число 9 в левую часть уравнения,
а затем умножим правую и левую часть уравнения на (-1).
2х² — 7х  + 9 = 0    Имеем полное квадратное уравнение.
_7±√(49 — 4•2•9)_  =    _7±√(-23)_    Дискриминант получился отрицательный. 
  2•2                                      4                                      Корней нет.
Ответ: нет решений.

Задача 8. Решите уравнение  2(х² — 40) = -х² + 6(х + 4) + 1
Решение: Раскрываем скобки, приводим подобные
2х² — 80 = -х² + 6х + 24 + 1 2х² — 80  + х² — 6х — 24 — 1 = 0
3х² —  6х — 105 = 0    Делим правую и левую часть уравнения на 3
х² — 2х — 35 = 0   И опять теорема Виета.
Множители числа 35:  7 и 5.
Свободный член отрицательный, значит корни имеют разные знаки.
Теперь надо их правильно расставить.
Сумма равна +2, значит положительное число по модулю больше,
чем отрицательное.
А теперь уже просто.
х1 = 7;  х2 = -5
Ответ: -5; 7

Задача 9.  Решите уравнение  х²/2 — 1/2 = х•(х+5)/6
Решение:  Как в предыдущих примерах с дробями, избавляемся от дробей путём умножения правой и левой части уравнения на 6.
3х² — 3 = х(х+5)
3х² — 3 = х² + 5х
2х² — 5х —  3 = 0
_5±√(25 + 4•2•3)_  =    _5±7_
            2•2                         4               
х1 = 3,   х2 = -0,5
Ответ: -0,5;  3

На сегодня всё. Успехов и до новых задач!