Геометрия — просто!

Добрый день! Продолжаем решать задачи на прогрессии. Сегодня наша тема — три числа образуют арифметическую прогрессию.
Задача 1. Три числа образуют арифметическую прогрессию.
Сума этих чисел равна 3, а сумма их кубов равна 57.
Найти эти числа.
Решение:
a1 + a1 + d + a1 + 2d = 3  ⇒
3a1 + 3d = 3   ⇒
a1 + d = 1   ⇒  a1 = 1-d
(1-d)³ + (1-d+d)³ + (1-d+2d)³ = 57
(1-d)³ +(1+d)³ = 56
1 — 3d + 3d² — d³ + 1 + 3d + 3d² + d³ = 56
6d² = 54
d² =9
d = ±3
a1 = 1-3 = -2
a2 = 1
a3 = 4
Ответ: Три числа  -2, 1, 4

Задача 2. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма их квадратов равна 14/9.
Найти эти числа.
Решение:
a1 + a1 + d + a1 + 2d = 2   ⇒ 3a1 + 3d = 2     a1 + d = 2/3
a1² + (a1+d)² + (a1 + 2d)² = 14/9           (a1+d)² = 4/9       a1 + 2d =2/3 + d
(2/3 — d)² + 4/9 + (2/3+d)² = 14/9
4/9 — 4d/3 + d² + 4/9 + 4/9 + 4d/3 + d² = 14/9
2d² = 2/9
d² = 1/9
d = ±1/3
a1 = 1/3
a2 = 2/3
a3 = 1
Ответ: Три числа 1/3, 2/3, 1

Задача 3.  Найти три первых числа арифметической прогрессии, если  сумма первого, третьего и пятого члена равна минус 12,
а их произведение равно 80.
Решение:
а1 + а1 + 2d + a1 + 4d = -12   ⇒3a1 + 6d = -12   ⇒   a1 + 2d = -4   ⇒ 4d = -8 — 2a1
a1(a1+2d)(a1+4d) = 80
a1(-4)(a1+4d) = 80
a1(a1-8-2a1) = -20
a1(a1+8) = 20
a1² + 8a1  — 20 = 0   Решая данное квадратное уравнение получим корни:
a1 = -10    d = 3        а2 = -7,   а3 = -4
a1 = 2       d = -3       а2 = -1,   а3 = -4
Ответ: три первых числа прогрессии:  -10, -7, -4;
и ещё три первых числа  прогрессии:   2, -1, -4.

Задача 4. Найти стороны треугольника, если они выражаются целыми числами и являются последовательными числами арифметической прогрессии.  Периметр треугольника равен 15.
Решение:
а1 + а1 + d + a1 + 2d = 15
3a1 + 3d = 15
a1 + d = 5. В целых числах решения следующие:
а1 = 5    d = 0      5,5,5
a1 = 4    d = 1      4,5,6
a1 = 3    d = 2      3,5,7
a1 = 2    d = 3      2,5,8  не подходит по условию треугольника
a1 = 1    d = 4      1,5,9  не подходит по условию треугольника
Ответ:   5,5,5;   4,5,6;   3,5,7.
                                       На сегодня всё. До новых задач!