Геометрия — просто!

Добрый день!
Сегодня мы начнём новую тему — арифметические прогрессии, решение задач.
В любом справочнике, посвящённом подготовке к ОГЭ, достаточно много типовых задач на прогрессии.
Чтобы не повторяться, я выбрал для вас задачи из сборников для поступающих в ВУЗы
выпусков до 1995 года.
В те времена  абитуриенты сдавали экзамены, а каждый ВУЗ готовил свою, отличную от других, программу для поступающих.
Так что приступим:
Для того, чтобы решать задачи на арифметические прогрессии, необходимо знать две основные формулы:
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
а_n = а₁ + d(n – 1), где а₁ – первый член прогрессии,
а_n  —  n-ный член прогрессии,
d – разность прогрессии, т.е. разница между последующим и предыдущим членом прогрессии.
Формула суммы n первых членов прогрессии имеет вид:
S_n = (a₁ + a_n)n/2. А теперь задачи:

Задача 1. В арифметической прогрессии сумма пятого и шестого членов равна 23, а первый член равен -2.
Сколько нужно взять членов прогрессии, чтобы их сумма равнялась 33?
Решение: а5+а6 = 23    ⇒   а1 + d(5 — 1) + а1 + d(6 — 1) = 23 ⇒   2а1 +  9d = 23
                     а1 = -2  ⇒  -4 + 9d = 23    9d = 27   d = 3
S_n = (a₁ + a_n)n/2 = 33     ⇒    [-2 + (-2) + 3(n-1)]n/2 = 33   (-4+3n-3)n = 66
3n² — 7n -66 = 0
Решая данное квадратное уравнение, находим его корни.
Они равны 6 и -11/3.
Второй корень не подходит.
Ответ: надо взять 6 членов прогрессии.

Задача 2. В арифметической прогрессии сумма второго, четвёртого и восьмого членов равна 30,
а сумма восьмого, девятого и десятого равна 69.
Сколько нужно взять членов прогрессии, чтобы их сумма равнялась 76?
Решение: Поскольку большинство задач арифметической прогрессии сводятся к нахождению двух неизвестных — а1 и d, то необходимо составлять два уравнения и решать систему:
а1 + d + a1 + 3d + a1 + 7d = 30     ⇒    3a1 + 11d = 30
a1 + 7d + a1 + 8d + a1 + 9d = 69   ⇒   3a1 + 24d = 69
⇒вычитаем из первого уравнения второе:
13d = 39   d = 3     3a1 + 11*3 = 30    3a1 +33=30    a1 = -1
S_n = (a₁ + a_n)n/2 = 76        [-1 + (-1) + 3(n-1)]n/2 = 76  ⇒  (3n-5)n = 152
3n² — 5n — 152 = 0
Корни данного уравнения равны 8 и -19/3.
Второй корень не подходит.
Ответ: надо взять 8 членов прогрессии.

Задача 3. В арифметической прогрессии пятый член равен 3,
а девятый равен -9.
Найти сумму одиннадцати членов.
Решение:   а1 + 4d = 3
               a1 + 8d = -9      Вычитая из второго уравнения первое получим:
4d = -12       d = -3    a1 + 4*(-3) = 3   a1 = 15
a11 = a1 + 10d = 15 — 30 = -15
S_n = (a₁ + a_n)n/2 = (15-15)*11/2 = 0
Ответ: Сумма одиннадцати членов прогрессии равна 0.

Задача 4. В арифметической прогрессии первый член равен минус 22,
а произведение третьего и четвёртого равно сумме седьмого и девятого.
Найти сумму десяти членов, если разность прогрессии целое число.
Решение:
(a1 + 2d)(a1 + 3d) = a1 + 6d + a1 + 8d  ⇒
(2d-22)(3d-22) = 14d-44
6d² — 110d + 484 — 14d + 44 = 0
6d² — 124d + 528 = 0
3d² — 62d + 264 = 0           Решая данное уравнение получим следующие корни:
d1 =6
d2 = 44/3  — не подходит по условию.
а10 = а1 + 9d = -22 + 54 = 32.
S_n = (a₁ + a_n)n/2  = (-22+32)10/2 = 50
Ответ: сумма десяти членов прогрессии равна 50.

На сегодня всё. Успехов в учёбе и до новых задач!