Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
Мы продолжаем решение задач из сборника ГИА-2014 математика для нынешних и будущих девятиклассников.
И, хотя это сборник 2014 года, многие задачи в нём заслуживают внимания.
Это относится и к задачам на работу, которые изучают в 9 классе.
Такие задачи являются обязательной частью как ОГЭ так и ЕГЭ.

Задача. Три экскаватора разной производительности роют котлован.
Если каждый из экскаваторов проработает 12 часов, то вся работа будет выполнена.
Работа будет выполнена и в том случае, если первый экскаватор проработает 8 часов, второй — 16, а третий — 10.
Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы закончить общую работу, если до него  первый экскаватор проработал 10 часов, а третий — 11?
Решение: все задачи на работу, на движение,  на трубы, на скорость течения реки, решаются с помощью треугольника, который связывает
скорость, время, расстояние; производительность, время и работу и т.д.
Итак, производительность    1 экскаватора — v1
                                                     2                           v2
                                                     3                           v3.    Всю работу примем за 1.
Первое уравнение:   12v1 + 12v2 + 12v3 = 1
Второе уравнение:     8v1 + 16v2 + 10v3 = 1
Третье уравнение:    10v1 +  Xv2 +  11v3 = 1    Время второго нам неизвестно. Примем его за Х.  

Поскольку правые части первого и второго уравнений равны,
то равны и левые части:
12v1 + 12v2 + 12v3 = 8v1 + 16v2 + 10v3
12v1 — 8v1 + 12v3 — 10v3 = 16v2 -12v2
4v2 = 4v1 +2v3
v2 = (2v1 + v3)/2
Теперь выражение v2 подставляем в первое и третье уравнения
и приравниваем их левые части:
12v1 + 12(2v1+v3)/2 + 12v3 = 10v1 + X(2v1 + v3)/2 + 11v3
12v1 + 12v1 + 6v3 + 12v3 = 10v1 + X/2*(2v1 + v3) + 11v3
14v1 + 6v3 = X/2*(2v1 + v3)
7(2v1 + v3) = X/2*(2v1 + v3)   Сокращаем на (2v1 + v3)
7 = Х/2
Х = 14.
Ответ: Второй экскаватор должен проработать 14 часов.

На сегодня всё. До новых задач!