Геометрия — просто!

Добрый день, друзья!
Несмотря на лето, продолжаем решать задачи из сборника ГИА-2014 по математике для подготовки  к сдаче
ОГЭ в будущем, 2016 году.

Сегодня, как и в прошлый раз, мы рассматриваем задачи на общую работу.
И сколько бы таких задач не было вами  решено, всегда найдётся что-то новое.

Поэтому, вперед!

Задача. Три автомобиля разной грузоподъёмности
должны перевезти некий груз.
Автомобили вывезут его полностью, если все сделают по 8 рейсов.
Если первый автомобиль сделает 4 рейса, второй — 2 рейса,
а третий — 16 рейсов, то груз также будет вывезен.
Сколько рейсов необходимо сделать второму автомобилю,
чтобы весь груз был полностью вывезен,  если первый и третий автомобили совершат соответственно 6 и 12 рейсов?

Решение: пусть грузоподъёмность первого автомобиля    —  а1;
грузоподъёмность второго автомобиля    —  а2;
грузоподъёмность третьего автомобиля   —   а3.  Весь груз примем за 1.
Произведение грузоподъёмности на количество рейсов даст нам количество перевезённого груза одним автомобилем.
А сумма их будет равна всему грузу.
Первое уравнение:     8а1 + 8а2 + 8а3 = 1
Второе уравнение:     4а1 + 2а2 + 16а3 = 1
Третье уравнение:     6а1 + Ха2 + 12а3 = 1  Количество рейсов второго автомобиля нам неизвестно. Примем его за Х.

Поскольку во всех уравнениях правые части равны 1,
то левые части их тоже равны между собой.
8а1 + 8а2 + 8а3 = 4а1 + 2а2 + 16а3
8а2 — 2а2 = 4а1 — 8а1 + 16а3 — 8а3
6а2 = 8а3 — 4а1
а2 = (4а3  — 2а1)/3  Теперь это выражение подставим в третье и в первое уравнение и приравняем левые части:
8а1 + 8(4а3 — 2а1)/3 + 8а3 = 6а1 + Х(4а3 — 2а1)/3 + 12а3  
Избавляемся от знаменателя, умножив правую и
левую часть уравнения на 3.  Одновременно раскрываем скобки.

24а1 + 32а3 — 16а1 + 24а3 = 18а1 + Х(4а3 — 2а1) + 36а3
Х(4а3 — 2а1) = 24а1 +32а3 — 16а1 +24а3 — 18а1 — 36а3
Х(4а3 — 2а1) =  20а3 — 10а1
Х(4а3 — 2а1) = 5(4а3 — 2а1)   Отсюда имеем:
Х=5.
Ответ: Второму автомобилю необходимо сделать 5 рейсов.

На этом всё. Успехов и до новых задач!
На этой неделе у девятиклассников выпускные вечера.
От всей души поздравляю всех с вашим ПРАЗДНИКОМ!