Геометрия — просто!

 Добрый день, друзья!
Мы продолжаем решение различных вариантов 19 задачи ЕГЭ математика.
И  сегодня мы разберём, как и в прошлых статьях, различные виды задач,
связанные с процентами, производительностью, повышением зарплаты, выпуском  различной продукции.
Все эти задачи, взятые из жизни, пригодятся вам на вашем долгом и счастливом жизненном пути.

 

 

 

Задача 1. Начальную цену товара снизили на 20%,
после этого, новую цену снизили ещё на 15%, а затем, снизили ещё на 10%.
На сколько процентов всего снизили начальную цену товара?
Решение: пусть цена товара была Х рублей.
Тогда, после первоначального снижения цены на 20% товар стал стоить
(100-20)%  от цены Х или 0,8Х.
После вторичного понижения цены на 15% от цены 0,8Х
товар стал стоить 0,8Х*0,85 = 0,68Х.
После третьего снижения цены на 10% от цены 0,68Х
он стал стоить 0,68Х*0,9 = 0,612Х.
При том, что цена товара была Х, а стала 0,612Х, снижение произошло
на 1-0,612 = 0,388, или 38,8%.
Ответ: цену товара снизили на 38,8%. 

Задача 2. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов.
На сколько процентов нужно повысить производительность труда,
чтобы при тех же расценках зарплата возросла на 5%?
Решение: Пусть производительность при 8-часовом рабочем дне будет Х.
Заработная плата пропорциональна производительности,
и тогда за 8 часов работы заработная плата будет 8Х.
Производительность при 7-часовом рабочем дне  будет У.
Тогда за 7 часов работы заработная плата станет 7У.
По условию заработная плата увеличилась на 5%,
т.е. 7У = 1,05*8Х         7У = 8,4Х         У=1,2Х   
Ответ: производительность труда необходимо поднять на 20%.

 Задача 3. За первый квартал завод выполнил
25% годового плана выпуска станков.
Числа станков, выпущенных за второй, третий и четвёртый кварталы, относятся как 11,25:12:13,5.
Найдите процент перевыполнения годового плана в процентах,
если во втором квартале завод выдал продукции
в 1,08 раза больше, чем в первом.
Решение: Примем годовой план выпуска станков за х.
Тогда в первый квартал завод изготовил 0,25х станков.
И ему осталось изготовить 0,75х станков.
Во втором квартале завод изготовил 1,08*0,25х = 0,27х станков.
Количество выпущенных станков за второй, третий и четвёртый квартала относятся как 11,25:12:13,5, или 1125:1200:1350, или 15:16:18.
Если во втором квартале было изготовлено 0,27х станков,
то в третьем в 16/15 раза больше, или 0,27х * 16/15 = 0,288х.
А в четвёртом – в 18/15 или в 6/5 раза больше, чем во втором.
0,27х * 6/5 = 0,324х.
Итого, за 4 квартала завод выпустил станков
0,25х + 0,27х + 0,288х + 0,324х = 1,132х.
Завод перевыполнил годовой план на 1,132х – х = 0,132х, или на 13,2%.
Ответ: Перевыполнение годового плана составило 13,2%.

Задача 4. При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплата размером в 1000$ обратилась в 1254,4$.
Определите, на сколько процентов повышалась зарплата?
Решение: Пусть в первый раз зарплата повысилась на р%.
Тогда, после первого повышения заработная плата стала равной
1000 (1 + р/100).
После второго повышения на р% заработная плата стала равной
1000(1 + р/100)(1 + р/100) = 1000(1 + р/100)².
При этом заработная плата обратилась в 1254,4$.
Составим уравнение:
1000(1 + р/100)² = 1254,4
(1 + р/100)² = 1,2544
1 + р/100 = 1,12
р/100 = 1,12 – 1 = 0,12
р = 12%
Ответ: Заработная плата повышалась на 12%.

Задача 5. После двух последовательных повышений зарплата
увеличилась в 15/8 раза по сравнению с первоначальной.
На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз,
если второе повышение в процентном отношении вдвое больше первого?
Решение: пусть в первый раз зарплата Х повысилась на Р%.
Тогда она стала Х(1 + Р/100).
Во второй раз зарплата повысилась на 2Р% и стала Х(1 + Р/100)(1 + 2Р/100).
И она увеличилась после второго повышения в 15/8 раза
по сравнению с первоначальной зарплатой.
Составляем уравнение:
Х(1 + Р/100)(1 + 2Р/100) = 15/8 Х
Сокращаем правую и левую част ь уравнения на Х.
(1 + Р/100)(1 + 2Р/100) = 15/8
1 + 2Р/100 + Р/100 + 2Р²/10000 = 15/8
10000 + 300Р + 2Р² = 18750
2Р² + 300Р – 8750 = 0
Сокращаем на 2 правую и левую часть уравнения:
Р² + 150Р – 4375 = 0
Решаем уравнение через дискриминант с чётным вторым коэффициентом:
Р_1,2 = -75 ±√(75² + 4375) = -75 ± 100.
Р₁ =  -75 + 100 = 25.
Р₂ = -75 – 100 = -175  не подходит по условию задачи.
Ответ: Заработная плата повысилась первый раз на 25%.

 На сегодня всё!
Успехов вам и до новых задач!