postheadericon Задачи по теме основания и диагонали трапеции

Диагональ трапеции перпендикулярнаДобрый день! Сегодня мы продолжим решение задач по теме трапеция из различных сборников прошлых лет для поступающих в ВУЗы.
Задача 1. Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 50, верхнее — 14.
Найти диагональ трапеции, если она перпендикулярна боковой стороне.

Решение: По условию треугольник АВД — прямоугольный.
Высота ВК, опущенная из прямого угла прямоугольного треугольника на гипотенузу АД , делит её на два отрезка — АК и КД,
произведение которых равно квадрату данной высоты.

Имеем: h² = 18*32 = 36*16
h = 6*4 = 24.
Находим диагональ ВД трапеции из прямоугольного треугольника ВДК.
ВД² = 24² + 32² = 1600.
ВД = 40.
Ответ: диагональ трапеции равна 40

Диагональ равна биссентрисеЗадача 2.  Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 7,8, а верхнее — 5.
Найти диагональ трапеции, если она является биссектрисой угла при основании.

Решение: Поскольку диагональ АС трапеции АВСД является её биссектрисой, то она отсекает равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 5.
Опустив две высоты ВК и СМ, получим 3 отрезка.
КМ = 5, ВК = МД = (7,8-5):2 = 1,4.

Из прямоугольного треугольника АВК находим ВК.
ВК² = 5² — 1.4² = 23,04
ВК = 4.8
Теперь из прямоугольного треугольника АСМ,
зная 2 катета, находим гипотенузу:

АС² = 6,4² + 4,8² = 64   АС = 8.
Ответ: диагональ трапеции равна 8.
ЗПрямоугольная трапецияадача 3. Диагональ прямоугольной трапеции равна её боковой стороне. Найти длину средней линии трапеции, если её высота равна 4, а наклонная боковая сторона равна 5.
Решение: При наличии правильного построения решение лежит на поверхности.
Из прямоугольного треугольника АВС находим верхнее основание трапеции. Оно равно 3, как катет из египетского треугольника.
Треугольник АСД равнобедренный. Высота его равна 4, а стороны 5.
Значит основание треугольника находим из решения двух египетских треугольников, т.е. 3+3 = 6.

Отсюда находим среднюю линию:
она равна полу-сумме оснований (3+6):2 = 4,5

Ответ: средняя линия равна 4.5
Средняя линия трапецииЗадача 4. Большее основание трапеции равно 24. Найти её меньшее основание, если расстояние между серединами её диагоналей равно 4.
Решение: Ещё один вариант мгновенного решения задачи при правильном построении.
МК — отрезок, который соединяет середины диагоналей.
Продлевая этот отрезок до пересечения с АВ, получим точку Р.
РК — средняя линия треугольника АВД.
Она равна 24:2 = 12. Но МК = 4, значит РМ = 12-4 = 8.

Поскольку РМ — средняя линия в треугольнике АВС,
то она равна половине основания. Следовательно ВС=16.

Ответ: меньшее основание равно 16.
Трапеция с угламиЗадача 5.  Определить периметр трапеции с основаниями, относящимися как 8:3, если тангенсы углов при основании равны 4/3 и 3/4, а высота трапеции равна 12.
Решение: Из двух прямоугольных треугольников АВК и СДМ, зная один катет и тангенсы углов, находим другой катет.

В первом треугольнике АК = 12: 4/3 = 9

Во втором  МД равно 12 : 3/4 = 16.
АД разбито на 3 отрезка : 9, Х и 16.
Составляем пропорцию: (25+Х)/Х = 8/3     75 + 3Х = 8Х   Х = 15.
Стороны трапеции равны 15, 15, 20, 40. Её периметр равен 90.
Ответ: периметр трапеции равен 90.
                               На сегодня всё. Успехов в учёбе и до новых задач!

Оставить комментарий

Работаю по скайпу.
serpan1809
Никакого спама, гарантируем!
Сайт размещается на хостинге Спринтхост