postheadericon Решение арифметической прогрессии

ПрогрессияЗдравствуйте, друзья!
Сегодня в рубрике «Поступающим в ВУЗы» очередная тема -
решение арифметической прогрессии.
Мы с вами уже решали примеры на эту тему, однако, если даже в поэзии применяются прогрессии, то, безусловно, их необходимо знать.
Поэтому, приступим.

 

 

Задача 1. Сложив шесть членов арифметической прогрессии, получили 39,
а, сложив девять членов, получили 99.
Найти пятый член прогрессии.
Решение: Практически все задачи на арифметическую прогрессию решаются путём выражения всех величин через 2 неизвестных
а именно: через первый член прогрессии а1 и через разность прогрессии d.

В данной задаче можно выразить условие задачи двумя уравнениями:
(а1+а1+5d)*5/2 = 39         10а1+25d=78
(а1+а1+8d)*9/2 = 99        18а1+72d=198
Домножаем правую и левую часть первого уравнения на 9,
а второго уравнения на 5.

90а1+225d=702
90а1+360d=990   Из второго уравнения вычитаем первое.
135d=288
d= 32/15       10а1 + 25* 32/15 = 78

10а1 = 78 — 5*32/3 = 74/3      а1 = 37/15
Отсюда, а5 = а1 + 4d = 37/15 + 4*32/15 = 165/15 = 11

Ответ: пятый член прогрессии равен 11.
Задача 2. В арифметической прогрессии при сложении четвёртого и шестого членов получили 42, а при сложении пятого, седьмого и девятого получили 69.
Чему равен десятый член прогрессии?
Решение: Исходя из условия задачи, составляем два уравнения
а1+3d+а1+5d = 42
a1+4d+a1+6d+a1+8d = 69
2a1 + 8d = 42           a1 + 4d = 21  Пятый член равен 21
3a1 + 18d = 69         a1 + 6d = 23  Седьмой член равен 23
Отсюда, а7 — а5 = 2d = 2.  Разность прогрессии равна 1.
Девятый член прогрессии равен 25.
Значит, десятый равен 26.
Ответ: десятый член прогрессии равен 26.
Задача 3. В арифметической прогрессии сумма первого, второго и пятого членов в три раза меньше суммы седьмого, десятого и одиннадцатого. Найти пятнадцатый член прогрессии, если а1 = 5.
Решение: Как и в предыдущих задачах, составляем уравнение,
исходя из условия -

3(a1+a1+d+a1+4d) = a1+6d+a1+9d+a1+10d
9a1 + 15d = 3a1 + 25d
6a1 = 10d      a1 = 5
30 = 10d
d = 3
a15 = a1 + 14d = 5 + 3*14 = 47.

Ответ: пятнадцатый член арифметической прогрессии равен 47.
Задача 4. В арифметической прогрессии взяли второй, четвёртый и восьмой член. Их сумма оказалась равной  30. А если взять восьмой, девятый и десятый члены прогрессии, то их сумма окажется   равной 69. Необходимо  найти число  членов прогрессии, начиная с первого, при условии, что их сумма равна 76.
Решение: составляем уравнение -
a1 + d +  a1 + 3d + a1 + 7d = 30
a1 + 7d + a1 + 8d + a1 + 9d = 69
3a1 + 11d + 30
3a1 + 24d = 69           Из второго уравнения вычитаем первое
13d = 39
d = 3
a1 = -1            Составляем уравнение суммы n членов арифметической прогрессии.
Сумма n членов прогрессии равна  полу-сумме первого и последнего, умноженная на число членов.
〈a1 + a1 + d(n-1)〉*n/2 = 76
〈-2 + 3(n-1)〉n = 152
(3n — 3 — 2)n = 152
3n² — 5n — 152 = 0    Решаем полное квадратное уравнение через дискриминант.
D = 5² + 4*3*152 = 1849
√D = 43
n = (5+43)6 = 48/6 = 8

Ответ: Нужно взять 8 членов прогрессии.
На сегодня всё.
В следующий раз мы продолжим
решение арифметической прогрессии.

Успехов и до новых задач!

Оставить комментарий

Занятия по геометрии
С 8 по 14 июля провожу занятия в Школе Шаталова В.Ф. для 8-9 классов по геометрии http://shatalovschools.ru
Никакого спама, гарантируем!
Сайт размещается на хостинге Спринтхост